Racionální ceny - Rational pricing

Racionální tvorba cen je předpokladem ve finanční ekonomii, že ceny aktiv (a tedy i cenové modely aktiv ) budou odrážet cenu aktiva bez arbitráží, protože jakákoli odchylka od této ceny bude „arbitráží pryč“. Tento předpoklad je užitečný při oceňování cenných papírů s pevným výnosem, zejména dluhopisů, a je zásadní pro oceňování derivátových nástrojů.

Arbitrážní mechanika

Arbitráž je praxe využívající výhody stavu nerovnováhy mezi dvěma (nebo možná více) trhy. Tam, kde lze tohoto nesouladu využít (tj. Po transakčních nákladech, skladovacích nákladech, přepravních nákladech, dividendách atd.), Může arbitr „zablokovat“ bezrizikový zisk současným nákupem a prodejem na obou trzích.

Arbitráž obecně zajišťuje, že „ zákon jedné ceny “ bude platit; arbitráž rovněž vyrovnává ceny aktiv se stejnými peněžními toky a stanoví cenu aktiv se známými budoucími peněžními toky.

Zákon jedné ceny

Stejné aktivum se musí obchodovat za stejnou cenu na všech trzích („ zákon jedné ceny “). Pokud to není pravda, arbitr:

1. koupit aktivum na trhu, kde má nižší cenu, a současně jej prodat ( short ) na druhém trhu za vyšší cenu
2. doručit aktivum kupujícímu a získat vyšší cenu
3. zaplatit prodávajícímu na levnějším trhu výnosy a kapesný rozdíl.

Aktiva se stejnými peněžními toky

Dvě aktiva se stejnými peněžními toky se musí obchodovat za stejnou cenu. Pokud to není pravda, arbitr:

1. prodat aktivum za vyšší cenu ( short sell ) a současně koupit aktivum za nižší cenu
2. financovat jeho nákup levnějšího aktiva výnosy z prodeje drahého aktiva a kapesný rozdíl
3. splnit své závazky vůči kupujícímu drahého aktiva pomocí peněžních toků z levnějšího aktiva.

Majetek se známou budoucí cenou

Aktivum se známou cenou v budoucnosti musí dnes obchod za tuto cenu se slevou na volném mírou rizika .

Všimněte si, že na tuto podmínku lze pohlížet jako na aplikaci výše uvedených případů, kdy se jedná o dva aktiva, která mají být dodána, a aktiva bez rizika.

a) pokud je zlevněná budoucí cena vyšší než dnešní cena:

1. Arbitr souhlasí s dodáním aktiva k budoucímu datu (tj. Prodá dopředu ) a současně jej koupí dnes za vypůjčené peníze.
2. V den dodání arbitr předá podklad a obdrží dohodnutou cenu.
3. Poté splatí věřiteli vypůjčenou částku plus úrok.
4. Rozdíl mezi sjednanou cenou a částkou vrácenou (tj. Dlužnou) je arbitrážní zisk.

b) pokud je zlevněná budoucí cena nižší než dnešní cena:

1. Arbitr souhlasí s platbou za aktivum k budoucímu datu (tj. Nakoupí dopředu ) a současně prodá ( nakrátko ) podkladové dnes; investuje (nebo banky) výnosy.
2. V den dodání inkasuje splatnou investici, která zhodnotila bezrizikovou sazbou.
3. Poté převezme dodávku podkladového aktiva a zaplatí sjednanou cenu pomocí splatné investice.
4. Rozdíl mezi hodnotou splatnosti a sjednanou cenou je zisk z arbitráže.

Písmeno b) je možné pouze pro ty, kteří aktivum drží, ale do budoucího data jej nepotřebují. Takových stran může být málo, pokud krátkodobá poptávka převyšuje nabídku, což vede ke zpětnému směřování .

Cenné papíry s pevným výnosem

Viz také arbitráž s pevným příjmem ; Hodnocení bonity dluhopisu .

Racionální tvorba cen je jedním z přístupů používaných při oceňování dluhopisů s pevnou sazbou . Zde lze každý peněžní tok z dluhopisu spárovat obchodováním buď (a) s nějakým násobkem dluhopisu s nulovým kupónem , ZCB, odpovídajícímu každému datu kupónu, a s ekvivalentní úvěruschopností (pokud je to možné, od stejného emitenta jako oceňovaný dluhopis) s odpovídající splatností, nebo (b) v pruhu odpovídajícímu každému kupónu a ZCB pro návratnost zásady při splatnosti. Poté, vzhledem k tomu, že peněžní toky lze replikovat, se cena dluhopisu musí dnes rovnat součtu všech jeho peněžních toků diskontovaných stejnou sazbou jako každý ZCB (na #aktiva se stejnými peněžními toky ). Pokud by tomu tak nebylo, arbitráž by byla možná a uvedla by cenu zpět do souladu s cenou na základě ZCB. Mechanika je následující.

Pokud je cena dluhopisu špatně vyrovnána se současnou hodnotou ZCB, může arbitr:

1. financovat její nákup podle toho, který z dluhopisů nebo součet ZCB byl levnější
2. od krátkého prodeje toho druhého
3. a splnění jejích závazků týkajících se peněžních toků pomocí kupónů nebo splatných nul podle potřeby
4. pak by její zisk byl rozdílem mezi těmito dvěma hodnotami.

Vzorec pro stanovení cen pak je , kde je každý peněžní tok diskontován sazbou, která odpovídá datu kupónu. Vzorec je často vyjádřen jako , pomocí cen místo sazeb, protože ceny jsou snadněji dostupné. ${\ Displaystyle P_ {0} = \ sum _ {t = 1}^{T} {\ frac {C_ {t}} {(1+r_ {t})^{t}}}}$${\ displaystyle C_ {t} \,}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ Displaystyle P_ {0} = \ sum _ {t = 1}^{T} C (t) \ times P (t)}$

Racionální tvorba cen platí pro modelování úrokových sazeb obecněji: výnosové křivky musí být vzhledem k cenám jednotlivých nástrojů libovolné . Viz Bootstrapping (finance) a vícekřivkový rámec .

Cenové deriváty

Derivát je nástroj, který umožňuje nákup a prodej stejného aktiva na dvou trzích - za spotový trh a trh s deriváty . Matematické finance předpokládají, že jakákoli nerovnováha mezi těmito dvěma trhy bude odstraněna. V derivátové smlouvě se správnou cenou tedy bude derivátová cena, realizační cena (nebo referenční sazba ) a spotová cena souviset tak, že arbitráž není možná. Viz Základní věta o cenách bez arbitráží .

Futures

Ve futures kontraktu , aby nebyla možná arbitráž, musí být cena zaplacená při dodání ( forwardová cena ) stejná jako náklady (včetně úroků) na nákup a skladování aktiva. Jinými slovy, racionální forwardová cena představuje očekávanou hodnotu budoucí na podkladové zlevněné na volném mírou rizika (dále jen „ aktivum se známou budoucnost cenu “, jak je uvedeno výše); viz Spot -budoucí parita . U jednoduchého aktiva nevyplácejícího dividendy se tedy hodnota budoucnosti/budoucnosti bude zjišťovat kumulací současné hodnoty v době do splatnosti mírou bezrizikového výnosu . ${\ displaystyle F (t) \,}$${\ Displaystyle S (t) \,}$${\ displaystyle t \,}$${\ displaystyle T \,}$${\ displaystyle r \,}$

${\ Displaystyle F (t) = S (t) \ times (1+r)^{(Tt)} \,}$

Tento vztah může být upraven pro náklady na skladování, dividendy, dividendové výnosy a praktické výnosy; viz ceny futures kontraktů .

Jakákoli odchylka od této rovnosti umožňuje arbitráž následovně.

• V případě, že je forwardová cena vyšší :

1. Arbitr prodává futures kontrakty a kupuje podkladové dnes (na spotovém trhu) za vypůjčené peníze.
2. V den dodání arbitr předá podklad a obdrží sjednanou forwardovou cenu.
3. Poté splatí věřiteli vypůjčenou částku plus úrok.
4. Rozdíl mezi těmito dvěma částkami je zisk z arbitráže.

• V případě, že je forwardová cena nižší :

1. Arbitr koupí futures kontrakt a dnes prodá podklad (na spotovém trhu); investuje výnosy.
2. V den dodání inkasuje splatnou investici, která zhodnotila bezrizikovou sazbou.
3. Poté obdrží podklad a zaplatí dohodnutou forwardovou cenu pomocí splatné investice. [Pokud byl podklad krátký , vrátí ho nyní.]
4. Rozdíl mezi těmito dvěma částkami je zisk z arbitráže.

Swapy

Racionální tvorba cen podporuje logiku oceňování swapů . Zde „swapují“ závazky dvě protistrany , účinně si vyměňují toky peněžních toků vypočítané proti pomyslné jistině a hodnota swapu je současná hodnota (PV) obou sad budoucích peněžních toků „vzájemně započtených“. Aby byly swapové smlouvy bez arbitráží, jsou takové, že zpočátku je čistá současná hodnota těchto budoucích peněžních toků rovna nule; viz Swap (finance) #Ocenění a ceny . Jakmile jsou swapy obchodovány, mohou být (musí) také oceněny pomocí racionální ceny. Níže uvedené příklady platí pro úrokové swapy  - a představují čistě racionální ceny, protože vylučují úvěrové riziko  - ačkoli tato zásada platí pro jakýkoli typ swapu .

Ocenění při zahájení

Zvažte úrokový swap s fixní a pohyblivou sazbou, kde strana A platí fixní sazbu („swapová sazba “) a strana B platí pohyblivou sazbu. Zde by byla pevná sazba taková, že současná hodnota budoucích plateb s pevnou sazbou stranou A se rovná současné hodnotě očekávaných budoucích plateb s pohyblivou sazbou (tj. NPV je nula). Pokud by tomu tak nebylo, arbitr C by mohl:

1. Zaujměte pozici s nižší současnou hodnotou plateb a půjčte si prostředky rovnající se této současné hodnotě
2. Splňte závazky týkající se peněžních toků na pozici pomocí vypůjčených prostředků a získejte odpovídající platby - které mají vyšší současnou hodnotu
3. Přijaté platby použijte ke splacení dluhu z vypůjčených prostředků
4. Kapesní rozdíl - kde rozdíl mezi současnou hodnotou půjčky a současnou hodnotou přílivů je arbitrážní zisk

Následné ocenění

Plovoucí část úrokového swapu lze „rozložit“ na řadu dohod o forwardové sazbě . Zde, protože swap má stejné platby jako FRA, musí platit ceny bez arbitráže, jak je uvedeno výše - tj. Hodnota této části se rovná hodnotě odpovídajících FRA. Podobně lze část swapu „s fixním příjmem“ ocenit srovnáním s dluhopisem se stejným rozvrhem plateb. (Souvisí s tím, že vzhledem k tomu, že jejich podkladové aktiva mají stejné peněžní toky, jsou možnosti dluhopisů a swapce srovnatelné.) Viz Swap (finance)#Použití cen dluhopisů .

Možnosti

Jak je uvedeno výše, kde je hodnota aktiva v budoucnosti známá (nebo očekávaná), lze tuto hodnotu použít k určení racionální ceny aktiva dnes. V opční smlouvě je však výkon závislý na ceně podkladového aktiva, a proto je platba nejistá. Modely oceňování opcí proto obsahují logiku, která buď „zamkne“, nebo „vyvodí“ tuto budoucí hodnotu; oba přístupy přinášejí stejné výsledky. Metody, které zablokují budoucí peněžní toky, předpokládají stanovení cen bez arbitráže , a metody, které odvozují očekávanou hodnotu, předpokládají rizikově neutrální ocenění .

K tomu (ve své nejjednodušší, i když široce používané formě) oba přístupy předpokládají „binomický model“ chování podkladového nástroje , který umožňuje pouze dva stavy - nahoru nebo dolů. Pokud S je aktuální cena, pak v příštím období bude cena buď S nahoru, nebo S dolů . Zde je hodnota podílu v up-stavu S × u a v down-stavu S × d (kde u a d jsou multiplikátory s d <1 <u a za předpokladu d <1+r <u; viz model binomických možností ). Poté, vzhledem k těmto dvěma stavům, přístup „bez arbitráže“ vytvoří pozici, která má v obou státech stejnou hodnotu - peněžní tok v jednom období je tedy znám a lze použít arbitrážní ceny. Rizikově neutrální přístup odvozuje očekávanou hodnotu opce od vnitřních hodnot v pozdějších dvou uzlech.

Ačkoli se tato logika jeví velmi vzdálená od Black -Scholesova vzorce a mřížkového přístupu v modelu Binomial options , ve skutečnosti je základem obou modelů; viz PDE The Black – Scholes . Předpoklad binomického chování v podkladové ceně je obhájitelný, protože se zvyšuje počet časových kroků mezi dneškem (oceňování) a cvičením a doba na časový krok je odpovídajícím způsobem krátká. Model Binomial options umožňuje vysoký počet velmi krátkých časových kroků (pokud jsou kódovány správně), zatímco Black – Scholes ve skutečnosti modeluje kontinuální proces .

Níže uvedené příklady mají akcie jako podkladové, ale mohou být zobecněny na jiné nástroje. Hodnotu prodejní opce lze odvodit níže uvedeným způsobem nebo ji lze zjistit z hodnoty volání pomocí parity put -call .

Ceny za arbitráž zdarma

Zde je budoucí výplata „uzamčena“ buď pomocí „zajištění delta“, nebo „ replikace portfolia “. Jak je uvedeno výše, tato výplata je poté diskontována a výsledek je dnes použit při ocenění opce.

Zajištění delty

Je možné vytvořit pozici skládající se z akcií Δ a 1 prodaného hovoru , takže hodnota pozice bude stejná ve stavech S up a S down , a tudíž bude známa s jistotou (viz zajištění Delta ). Tato určitá hodnota odpovídá forwardové ceně výše ( „aktivum se známou budoucí cenou“ ), a jak je uvedeno výše, aby nebyla možná arbitráž, současná hodnota pozice musí být její očekávanou budoucí hodnotou diskontovanou bezrizikovou sazbou , r . Hodnota hovoru se pak zjistí srovnáním obou.

1. Vyřešte pro Δ tak, že:

   hodnota pozice v jednom období = Δ × S nahoru - ( S nahoru  - realizační cena, 0) = Δ × S dolů - ( S dolů  - realizační cena, 0)${\ displaystyle max}$${\ displaystyle max}$

2. Vyřešte hodnotu volání pomocí Δ, kde:

   hodnota pozice dnes = hodnota pozice v jedné periodě ÷ (1 + r) = Δ × S proud  - hodnota volání

Replikující se portfolio

Je možné vytvořit pozici skládající se z akcií Δ a $ B vypůjčených za bezrizikovou sazbu, která vytvoří identické peněžní toky s jednou opcí na podkladovou akcii. Vytvořená pozice je známá jako „replikující se portfolio“, protože její peněžní toky kopírují opční opce. Jak je uvedeno výše ( „Aktiva se stejnými peněžními toky“ ), při absenci příležitostí arbitráže, protože vytvořené peněžní toky jsou totožné, musí být cena opce dnes stejná jako hodnota pozice dnes.

1. Řešte souběžně pro Δ a B tak, že:
   • Δ × S nahoru - B × (1 + r) = (0, S nahoru  - realizační cena)${\ displaystyle \ max}$
   • Δ × S dolů - B × (1 + r) = (0, S dolů  - realizační cena)${\ displaystyle \ max}$
2. Vyřešte hodnotu volání pomocí Δ a B, kde:
   • volání = proud Δ × S - B

Všimněte si, že zde není žádná sleva - úroková sazba se objeví pouze jako součást stavby. Tento přístup je proto upřednostňován před ostatními, kde není jasné, zda lze jako diskontní sazbu v každém rozhodovacím bodě použít bezrizikovou sazbu , nebo zda by místo toho byla požadována prémie za bezrizikovou , lišící se podle státu. Nejlepším příkladem toho by byla analýza skutečných možností, kde by akce vedení skutečně změnily rizikové charakteristiky daného projektu, a proto by se požadovaná míra návratnosti mohla lišit v up-down a down-stavech. Zde ve výše uvedených vzorcích pak máme: „Δ × S nahoru - B × (1 + r nahoru ) ...“ a „Δ × S dolů - B × (1 + r dolů ) ...“. Viz Ocenění skutečných opcí#Technické aspekty . (Dalším případem, kdy se mohou předpoklady modelování odchýlit od racionálního oceňování, je ocenění opcí na akcie zaměstnanců .)

Rizikově neutrální ocenění

Zde se hodnota opce vypočítá pomocí předpokladu neutrality rizika . Za tohoto předpokladu je „ očekávaná hodnota “ (na rozdíl od hodnoty „uzamčena“) diskontována . Očekávaná hodnota se vypočítá pomocí vnitřních hodnot z pozdějších dvou uzlů: „Možnost nahoru“ a „Možnost dolů“, přičemž u a d jsou multiplikátory cen, jak je uvedeno výše. Ty jsou pak váženy jejich příslušnými pravděpodobnostmi: „pravděpodobnost“ p pohybu nahoru v podkladovém a „pravděpodobnost“ (1-p) pohybu dolů. Očekávaná hodnota je poté diskontována r , bezrizikovou sazbou .

1. Vyřešit pro p

   při neutralitě rizika, aby u akcie nebyla možná arbitráž, musí dnešní cena představovat její očekávanou hodnotu diskontovanou bezrizikovou sazbou (tj. cena akcie je Martingale ):

   ${\ displaystyle {\ begin {aligned} S & = {\ frac {p \ times S_ {u}+(1-p) \ times S_ {d}} {1+r}} \\ & = {\ frac {p \ times u \ times S+(1-p) \ times d \ times S} {1+r}} \\\ Rightarrow p & = {\ frac {(1+r) -d} {ud}} \\\ end {zarovnaný}}}$

2. Vyřešte hodnotu volání pomocí p

   aby ve výzvě nebyla možná arbitráž, dnešní cena musí představovat její očekávanou hodnotu diskontovanou bezrizikovou sazbou:

   ${\ Displaystyle {\ begin {aligned} C & = {\ frac {p \ times C_ {u}+(1-p) \ times C_ {d}} {1+r}} \\ & = {\ frac {p \ times \ max (S_ {u} -k, 0)+(1-p) \ times \ max (S_ {d} -k, 0)} {1+r}} \\\ end {zarovnaný}}}$

Předpoklad neutrality rizika

Všimněte si toho, že výše uvedený rizikově neutrální vzorec neodkazuje na očekávaný nebo prognózovaný výnos podkladového aktiva, ani jeho volatilitu  -p, jak je vyřešeno, se vztahuje k rizikově neutrálnímu měřítku, na rozdíl od skutečného rozložení pravděpodobnosti cen. Jak arbitrární oceňování, tak rizikové neutrální oceňování však poskytují identické výsledky. Ve skutečnosti je možné ukázat, že „zajištění delta“ a „oceňování na základě rizika“ používají identické vzorce vyjádřené odlišně. Vzhledem k této ekvivalenci je platné při stanovení cen derivátů předpokládat „neutralitu rizika“. Formálnější vztah je popsán pomocí základní věty o cenách bez arbitráží .

Ceny akcií

Vliv na cenotvorbu akcií má teorie arbitrážních cen (APT), obecná teorie oceňování aktiv . APT tvrdí, že očekávaný výnos finančního aktiva lze modelovat jako lineární funkci různých makroekonomických faktorů, kde citlivost na změny v každém faktoru je reprezentována koeficientem beta specifickým pro daný faktor :

${\ Displaystyle E \ left (r_ {j} \ right) = r_ {f}+b_ {j1} F_ {1}+b_ {j2} F_ {2}+...+b_ {jn} F_ {n} +\ epsilon _ {j}}$

kde

• ${\ displaystyle E (r_ {j})}$ je očekávaná návratnost rizikového aktiva,
• ${\ displaystyle r_ {f}}$je bezriziková sazba ,
• ${\ displaystyle F_ {k}}$ je makroekonomický faktor,
• ${\ displaystyle b_ {jk}}$je citlivost aktiva na faktor ,${\ displaystyle k}$
• a je idiosynkratickým náhodným šokem rizikového aktiva se střední nulou.${\ displaystyle \ epsilon _ {j}}$

Pro správnou cenu aktiva pak bude použita modelová míra návratnosti - cena aktiva by se měla rovnat ceně očekávaného konce období diskontované sazbou implikovanou modelem. Pokud se cena liší, arbitráž by ji měla uvést zpět do souladu. Zde k provedení arbitráže investor „vytvoří“ aktivum se správnou cenou ( syntetické aktivum), portfolio se stejnou čistou expozicí vůči každému z makroekonomických faktorů jako aktivum s chybnou cenou, ale jiný očekávaný výnos. Podrobnosti o konstrukci portfolia najdete v článku o teorii arbitrážních cen . Arbitr je pak schopen dosáhnout bezrizikového zisku následujícím způsobem:

• Tam, kde je cena aktiva příliš nízká, mělo portfolio zhodnotit sazbou implikovanou APT, zatímco špatně oceněné aktivum by ocenilo více než touto sazbou. Arbitr tedy mohl:

1. Dnes: short sell portfolio a koupit nesprávně oceněna-aktiva s výnosem.
2. Na konci období: prodejte špatně oceněné aktivum, použijte výtěžek na odkoupení portfolia a kapesný rozdíl.

• Tam, kde je cena aktiva příliš vysoká, mělo portfolio ocenit sazbou implikovanou v APT, zatímco špatně oceněné aktivum by ocenilo méně než tuto sazbu. Arbitr tedy mohl:

1. Dnes: nakoupit nakrátko nesprávně oceněný majetek a za výtěžek nakoupit portfolio .
2. Na konci období: prodejte portfolio , použijte výtěžek na odkoupení chybně oceněného aktiva a rozdíl dejte do kapsy.

Všimněte si, že pod „skutečnou arbitráží“ investor uzamkne garantovanou výplatu, zatímco podle APT arbitráže investor zamkne pozitivní očekávanou odměnu. APT tedy předpokládá „arbitráž v očekávání“ - tj. Že arbitráž investorů uvede ceny aktiv zpět do souladu s výnosy očekávanými modelem.

Model oceňování kapitálových aktiv (CAPM) je dřívější (více) vlivnou teorií oceňování aktiv. Ačkoli je CAPM založen na různých předpokladech, může být v některých ohledech považován za „zvláštní případ“ APT; konkrétně linie trhu s cennými papíry CAPM představuje jednofaktorový model ceny aktiv, kde beta je expozice změnám „hodnoty trhu“ jako celku.

Ceny bez arbitráže pod systémovým rizikem

Klasické metody oceňování, jako je model Black-Scholes nebo Merton, nemohou zohledňovat systémové riziko protistrany, které je přítomno v systémech s finanční propojeností. Další podrobnosti týkající se rizika neutrálního, arbitrážního majetku a derivátů lze nalézt v článku o systémovém riziku (viz také ocenění v rámci systémového rizika ).

Viz také

• Ceny aktiv § Racionální ceny
• Analýza podmíněných nároků
• Krytá úroková arbitráž
• Hypotéza efektivního trhu
• Reálná hodnota
• Základní věta cen bez arbitráží
• Homo economus
• Seznam témat oceňování
• Žádný oběd zdarma s rizikem mizení
• Racionální teorie volby
• Rozumnost
• Rizikově neutrální opatření
• Volatilita arbitráž
• Systémové riziko
• Modelování výnosové křivky / úrokové sazby:
  • Výnosová křivka § Konstrukce plné výnosové křivky z tržních dat
  • Bootstrapping (finance)
  • Rámec s více křivkami

Reference

externí odkazy

Ceny za arbitráž zdarma

• Ceny podle arbitráže , webové stránky Historie ekonomických myšlenek
• Ceny Idea za arbitrážou , Samy Mohammed, Quantnotes
• „Základní věta“ financí ; část II . Prof.Mark Rubinstein , Haas School of Business
• The Elementary Asset Pricing Theory , Prof. KC Border California Institute of Technology
• Pojem arbitráže a bezplatného oběda v matematických financích , prof. Walter Schachermayer
• Žádný arbitráž v nepřetržitém čase , prof.Tyler Shumway

Neutralita rizika a ceny bez arbitráží

• Ceny za neutrální rizika v diskrétním čase ( PDF ), Prof. Don M. Chance
• Vysvětleny rizika neutrální rizika . Nicolas Gisiger
• Rizikově neutrální oceňování: Jemný úvod , část II . Univerzita Josepha Thama Duka

Aplikace na deriváty

• Oceňování opcí v binomickém modelu ( archivováno ), Prof. Ernst Maug, Rensselaer Polytechnic Institute
• Stanovení cen futures a forwardů arbitrážním argumentem , Quantnotes
• Vztah mezi futures a spotovými cenami , společnost Investment Analysts Society of Southern Africa
• Iluze dynamické replikace , Emanuel Derman a Nassim Taleb
• Swaptions and Options , Prof. Don M. Chance