Black – Scholesova rovnice - Black–Scholes equation

V matematickém financí je Black-Scholes rovnice je parciální diferenciální rovnice (PDE), kterými se řídí cenovou evoluci evropského hovoru nebo evropské put podle modelu Black-Scholes . Obecně řečeno, termín může odkazovat na podobný PDE, který lze odvodit pro různé možnosti nebo obecněji pro deriváty .

Pro evropskou výzvu nebo vložení podkladové akcie nevyplácející dividendy platí rovnice:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečný ^{2} V } {\ částečné S^{2}}}+rS {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}}-rV = 0}$

kde V je cena opce jako funkce ceny akcie S a čas t , r je bezriziková úroková sazba a je volatilita akcie. ${\ Displaystyle \ sigma}$

Klíčovým finančním vhledem za rovnicí je, že za modelového předpokladu trhu bez tření lze možnost dokonale zajistit opcí nákupem a prodejem podkladového aktiva správným způsobem a následně „eliminovat riziko“. Toto zajištění naopak znamená, že za opci existuje pouze jedna správná cena, kterou vrací vzorec Black – Scholes .

Finanční interpretace PDE Black – Scholes

Rovnice má konkrétní interpretaci, kterou praktici často používají, a je základem pro společnou derivaci uvedenou v následujícím pododdílu. Rovnici lze přepsat ve tvaru:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečný ^{2} V } {\ částečné S^{2}}} = rV-rS {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}}}$

Levá strana se skládá z výrazu „časového rozpadu“, změny derivační hodnoty vzhledem k času, nazývané theta , a výrazu zahrnujícího druhou prostorovou derivační gama , konvexitu derivační hodnoty vzhledem k podkladové hodnotě. Pravá strana je bezrizikový výnos z dlouhé pozice v derivátu a krátké pozice sestávající z akcií podkladového aktiva. ${\ textstyle {\ částečné V}/{\ částečné S}}$

Podle Blacka a Scholese bylo, že portfolio reprezentované pravou stranou je bez rizika: rovnice tedy říká, že bezrizikovou návratnost v jakémkoli nekonečně malém časovém intervalu lze vyjádřit jako součet theta a výraz zahrnující gama. U opce je theta obvykle záporná, což odráží ztrátu hodnoty v důsledku kratšího času na uplatnění opce (u evropské výzvy k podkladovému aktivu bez dividend je vždy záporná). Gama je obvykle pozitivní, a proto gama termín odráží zisky z držení opce. Rovnice uvádí, že v jakémkoli nekonečně malém časovém intervalu se ztráta z theta a zisk z gama členu musí vzájemně kompenzovat, takže výsledkem je návrat bezrizikovou rychlostí.

Z hlediska emitenta opce, např. Investiční banky, je gama termín náklady na zajištění opce. (Protože gama je největší, když se spotová cena podkladového aktiva blíží realizační ceně opce, náklady na zajištění prodávajícího jsou za těchto okolností největší.)

Odvození PDE Black – Scholes

Následující derivace je uvedena v Hullových opcích, futures a dalších derivátech , které jsou zase založeny na klasickém argumentu v původním dokumentu Black – Scholes.

Podle výše uvedených předpokladů modelu se cena podkladového aktiva (obvykle akcie) řídí geometrickým Brownovým pohybem . To je

${\ Displaystyle {\ frac {dS} {S}} = \ mu \, dt+\ sigma \, dW \,}$

kde W je stochastická proměnná ( Brownův pohyb ). Všimněte si, že W , a následně jeho nekonečně malý přírůstek dW , představuje jediný zdroj nejistoty v cenové historii akcie. Intuitivně je W ( t ) proces, který se „kroutí nahoru a dolů“ takovým náhodným způsobem, že jeho očekávaná změna v jakémkoli časovém intervalu je 0. (Kromě toho je jeho rozptyl v čase T roven T ; viz Wienerův proces § Základní vlastnosti ); dobrý diskrétní analog pro W je jednoduchá náhodná procházka . Výše uvedená rovnice tedy uvádí, že nekonečně malá míra návratnosti akcie má očekávanou hodnotu μ  dt a rozptyl . ${\ Displaystyle \ sigma ^{2} dt}$

Výplata opce při splatnosti je známá. Abychom našli svou hodnotu v dřívější době, musíme vědět, jak se vyvíjí jako funkce a . Podle Itôova lemmatu pro dvě proměnné máme ${\ displaystyle V (S, T)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle dV = \ left (\ mu S {\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}}+{\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2} } \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečné ^{2} V} {\ částečné S ^{2}}} \ vpravo) dt+\ sigma S {\ frac {\ částečné V} { \ částečné S}} \, dW}$

Nyní uvažujte o určitém portfoliu, nazývaném portfolio delta-hedge , které se skládá z krátké krátké opce a dlouhých akcií najednou . Hodnota těchto podílů je ${\ textstyle {\ částečné V}/{\ částečné S}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ Pi = -V+{\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}} S}$

Za dané časové období je celkový zisk nebo ztráta ze změn hodnot podílů (ale viz poznámka níže): ${\ Displaystyle [t, t+\ Delta t]}$

${\ Displaystyle \ Delta \ Pi =-\ Delta V+{\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}} \, \ Delta S}$

Nyní diskretizujte rovnice pro dS / S a dV nahrazením diferenciálů deltami:

${\ Displaystyle \ Delta S = \ mu S \, \ Delta t+\ sigma S \, \ Delta W \,}$

${\ Displaystyle \ Delta V = \ left (\ mu S {\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}}+{\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} { 2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečné ^{2} V} {\ částečné S ^{2}}} \ vpravo) \ Delta t+\ sigma S {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}} \, \ Delta W}$

a vhodně je dosaďte do výrazu pro : ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$

${\ Displaystyle \ Delta \ Pi = \ left (-{\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečné ^{2} V} {\ částečné S ^{2}}} \ vpravo) \ Delta t}$

Všimněte si, že termín zmizel. Tím byla eliminována nejistota a portfolio je ve skutečnosti bez rizika. Míra návratnosti tohoto portfolia se musí rovnat míře návratnosti jakéhokoli jiného bezrizikového nástroje; jinak by existovaly příležitosti pro arbitráž. Nyní za předpokladu, že bezriziková míra návratnosti je , musíme mít v daném časovém období${\ displaystyle \ Delta W}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle [t, t+\ Delta t]}$

${\ Displaystyle r \ Pi \, \ Delta t = \ Delta \ Pi}$

Pokud nyní porovnáme naše dva vzorce pro , získáme: ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$

${\ Displaystyle \ left (-{\ frac {\ částečná V} {\ částečná t}}-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečná ^ {2} V} {\ částečný S^{2}}} \ vpravo) \ Delta t = r \ vlevo (-V+S {\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}} \ vpravo) \ Delta t }$

Zjednodušeně se dostáváme k oslavované parciální diferenciální rovnici Black – Scholes:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečný ^{2} V } {\ částečné S^{2}}}+rS {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}}-rV = 0}$

S předpoklady Black -Scholesova modelu platí tato parciální diferenciální rovnice druhého řádu pro jakýkoli typ opce, pokud je její cenová funkce dvakrát diferencovatelná s ohledem na a jednou s ohledem na . Různé vzorce stanovení cen pro různé možnosti vyplynou z volby funkce výplaty při vypršení platnosti a vhodných okrajových podmínek. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle t}$

Technická poznámka: Jemnost zakrytá výše uvedeným přístupem diskretizace spočívá v tom, že nekonečně malá změna hodnoty portfolia byla způsobena pouze nekonečně malými změnami hodnot držených aktiv, nikoli změnami pozic v aktivech. Jinými slovy se předpokládalo, že portfolio je samofinancující .

Alternativní odvození

Zde je alternativní derivace, kterou lze použít v situacích, kdy zpočátku není jasné, jaké by zajišťovací portfolio mělo být. (Odkaz viz 6.4 Shreve vol II).

V Black-Scholesově modelu za předpokladu, že jsme vybrali rizikově neutrální měřítko pravděpodobnosti, se předpokládá , že podkladová cena akcie S ( t ) se bude vyvíjet jako geometrický Brownův pohyb:

${\ Displaystyle {\ frac {dS (t)} {S (t)}} = r \ dt+\ sigma dW (t)}$

Protože tato stochastická diferenciální rovnice (SDE) ukazuje, že vývoj ceny akcií je Markovian , jakýkoli derivát na tomto podkladě je funkcí času t a ceny akcií v aktuálním čase, S ( t ). Poté aplikace Itoova lemmatu poskytne SDE pro zlevněný derivační proces , který by měl být martingale. Aby to platilo, musí být driftový termín nulový, což znamená PDE Black -Scholes. ${\ Displaystyle e^{-rt} V (t, S (t))}$

Tato derivace je v zásadě aplikací Feynman -Kacova vzorce a lze ji zkusit kdykoli se podkladová aktiva vyvíjejí podle daných SDE.

Řešení Black – Scholes PDE

Jakmile je derivát Black -Scholes PDE s okrajovými a koncovými podmínkami odvozen, lze PDE vyřešit numericky pomocí standardních metod numerické analýzy, jako je typ metody konečných rozdílů . V určitých případech je možné vyřešit přesný vzorec, jako například v případě evropského hovoru, který provedli Black a Scholes.

Chcete -li to provést pro možnost volání, vyvolejte výše uvedený PDE s okrajovými podmínkami

${\ displaystyle {\ begin {aligned} C (0, t) & = 0 {\ text {for all}} t \\ C (S, t) & \ rightarrow S {\ text {as}} S \ rightarrow \ infty \\ C (S, T) & = \ max \ {SK, 0 \} \ end {zarovnaný}}}$

Poslední podmínka udává hodnotu opce v době, kdy opce dozrává. Jsou možné i jiné podmínky, protože S jde na 0 nebo nekonečno. Například běžnými podmínkami používanými v jiných situacích je vybrat delta, aby zmizela, když S přejde na 0 a gama, aby zmizela, když S jde do nekonečna; tyto budou dávat stejný vzorec jako výše uvedené podmínky (obecně platí, že různá okrajová podmínky poskytnou různá řešení, takže k výběru vhodných podmínek pro danou situaci by měl být použit určitý finanční přehled).

Řešení parciálních diferenciálních rovnic udává hodnotu opce na jakékoliv dřívější čas . Abychom vyřešili PDE, uznáváme, že se jedná o Cauchyho – Eulerovu rovnici, kterou je možné transformovat do difúzní rovnice zavedením transformace změny proměnné ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ max \ {SK, 0 \} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ tau & = Tt \\ u & = Ce^{r \ tau} \\ x & = \ ln \ left ({\ frac {S} {K}} \ right)+\ left (r-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ right) \ tau \ end {aligned}}}$

Pak se Black – Scholes PDE stane difúzní rovnicí

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné \ tau}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} {\ frac {\ částečné ^{2} u} {\ částečné x^{2}}}}$

Terminální podmínka se nyní stává počáteční podmínkou ${\ Displaystyle C (S, T) = \ max \ {SK, 0 \}}$

${\ Displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x): = K (e^{\ max \ {x, 0 \}}-1) = K \ left (e^{x} -1 \ vpravo) H (x),}$

kde H ( x ) je Heavisideova kroková funkce . Funkce Heaviside odpovídá vynucování hraničních dat v souřadnicovém systému S , t, který vyžaduje, když t = T ,

${\ Displaystyle C (S, \, T) = 0 \ quad \ forall \; S <K,}$

za předpokladu, že obě S , K > 0. S tímto předpokladem je ekvivalentní maximální funkci pro všechna x v reálných číslech, s výjimkou x = 0. Rovnost výše mezi maximální funkcí a Heavisideovou funkcí je ve smyslu distribucí, protože neplatí pro x = 0. Ačkoli je to jemné, je to důležité, protože Heavisideova funkce nemusí být konečná při x = 0, nebo dokonce definována. Další informace o hodnotě funkce Heaviside při x = 0 naleznete v části „Nulový argument“ v článku Kroková funkce Heaviside .

Pomocí standardní konvoluční metody pro řešení difúzní rovnice s funkcí počáteční hodnoty u ( x , 0) máme

${\ Displaystyle u (x, \ tau) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi \ tau}}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {u_ {0 } (y) \ exp {\ left [-{\ frac {(xy) ^{2}} {2 \ sigma ^{2} \ tau}} \ right]}} \, dy,}$

což po určité manipulaci přináší

${\ Displaystyle u (x, \ tau) = Ke ^{x+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau} N (d_ {1})-KN (d_ {2}), }$

kde je standardní normální kumulativní distribuční funkce a ${\ Displaystyle N (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x+{\ frac {1} {2} } \ sigma ^{2} \ tau \ right)+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau \ right] \\ d_ {2} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau \ right)-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau \ right]. \ end {aligned}}}$

Jedná se o stejná řešení (až časový překlad), která byla získána Fischerem Blackem v roce 1976.

Návrat k původní sadě proměnných poskytne výše uvedené řešení Black -Scholesovy rovnice. ${\ displaystyle u, x, \ tau}$

Nyní lze realizovat asymptotický stav.

${\ Displaystyle u (x, \, \ tau) {\ overset {x \ rightsquigarrow \ infty} {\ asymp}} Ke^{x},}$

což dává jednoduše S při návratu na původní souřadnice.

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} N (x) = 1.}$

Reference