Put – call parita - Put–call parity

Ve finanční matematice , put-volání parity definuje vztah mezi cenou opce evropského volání a evropské put opce , a to jak s identickým realizační cenu a dobu platnosti, a sice, že portfolio opce dlouhé volání a krátké prodejní opce se rovná (a tudíž má stejnou hodnotu jako) jeden forwardový kontrakt za tuto realizační cenu a vypršení platnosti. Je to proto, že pokud je cena po skončení platnosti vyšší než realizační cena, bude volání provedeno, zatímco pokud bude nižší, bude uplatněno putování, a tedy v obou případech bude za realizační cenu zakoupena jedna jednotka aktiva, přesně jako v forwardové smlouvě.

Platnost tohoto vztahu vyžaduje splnění určitých předpokladů; jsou specifikovány a vztah je odvozen níže. V praxi transakční náklady a finanční náklady (pákový efekt) znamenají, že tento vztah nebude přesně platit, ale na likvidních trzích je vztah téměř přesný.

Předpoklady

Put-call parita je statická replikace , a proto vyžaduje minimální předpoklady, konkrétně existenci forwardové smlouvy . Při absenci obchodovaných forwardových kontraktů může být forwardový kontrakt nahrazen (vlastně sám replikován) schopností koupit podkladové aktivum a financovat ho půjčením na dobu určitou (např. Půjčením dluhopisů), nebo naopak půjčením a prodejem ( krátce) podkladové aktivum a půjčka přijaté peníze na dobu určitou, v obou případech se získá portfolio samofinancování .

Tyto předpoklady nevyžadují žádné transakce mezi počátečním datem a vypršením platnosti, a jsou tedy výrazně slabší než u modelu Black – Scholes , který vyžaduje dynamickou replikaci a kontinuální transakci v podkladových transakcích.

Replikace předpokládá, že lze vstoupit do derivátových transakcí, což vyžaduje pákový efekt (a kapitálové náklady, které to podporují), a nákup a prodej s sebou nese transakční náklady , zejména rozpětí nabídky a poptávky . Vztah tak platí jen na ideálním trhu bez tření s neomezenou likviditou. Trhy reálného světa však mohou být dostatečně likvidní, aby byl vztah blízký přesným, nejvýznamnějším devizovým trhům v hlavních měnách nebo hlavních akciových indexech, při absenci tržních turbulencí.

Prohlášení

Paritu put-call lze určit řadou ekvivalentních způsobů, velmi stručně jako:

${\ displaystyle CP = D (FK)}$

kde je (aktuální) hodnota hovoru, je (aktuální) hodnota putu, je diskontní faktor , je forwardová cena aktiva a je realizační cena. Všimněte si, že spotová cena je dána (spotová cena je současná hodnota, forwardová cena je budoucí hodnota, diskontní faktor se týká těchto). Levá strana odpovídá portfoliu dlouhého hovoru a krátkého putu, zatímco pravá strana odpovídá forwardovému kontraktu. Aktiva a na levé straně jsou uvedena v aktuálních hodnotách, zatímco aktiva a jsou uvedena v budoucích hodnotách (forwardová cena aktiva a realizační cena zaplacená při vypršení platnosti), které diskontní faktor převede na současné hodnoty. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle D \ cdot F = S}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle D}$

Použití spotové ceny místo výnosů forwardové ceny : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle CP = SD \ cdot K}$

Přeskupením podmínek se získá odlišná interpretace:

${\ displaystyle C + D \ cdot K = P + S}$

V tomto případě je levá strana fiduciární hovor , což je dlouhý hovor a dostatek hotovosti (nebo dluhopisů) k zaplacení stávkové ceny, pokud je hovor proveden, zatímco pravá strana je ochranná pozice , která je dlouhá put a aktivum, takže aktivum může být prodáno za realizační cenu, pokud je spot po skončení platnosti pod strike. Obě strany mají při skončení platnosti maximální výplatu ( S ( T ), K ) (tj. Alespoň realizační cena nebo hodnota aktiva, pokud je vyšší), což poskytuje další způsob prokázání nebo interpretace kupní parity.

Podrobněji lze tuto původní rovnici uvést jako:

${\ displaystyle C (t) -P (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T)}$

kde

${\ displaystyle C (t)}$ je hodnota hovoru v čase , ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle P (t)}$ je hodnota putu se stejným datem vypršení platnosti,

${\ displaystyle S (t)}$ je spotová cena podkladového aktiva,

${\ displaystyle K}$ je realizační cena a

${\ displaystyle B (t, T)}$ je současná hodnota dluhopisu s nulovým kupónem, který je splatný v čase 1 $ Toto je faktor současné hodnoty pro K. ${\ displaystyle T.}$

Všimněte si, že pravá strana rovnice je také cena nákupu forward na skladě s dodání cenovou K . Jedním ze způsobů, jak číst rovnici, je tedy to, že portfolio, které je dlouhé volání a krátké uvedení, je stejné jako dlouhé dopředu. Zejména pokud podkladový obchod není obchodovatelný, ale existuje na něm forward, můžeme nahradit výraz na pravé straně cenou forwardu.

Pokud je dluhopis úrokové sazby , se předpokládá, že je konstantní poté ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle B (t, T) = e ^ {- r (Tt)}}$

Poznámka: odkazuje na úrokovou sílu , která se přibližně rovná efektivní roční sazbě pro malé úrokové sazby. Měli byste však dávat pozor na aproximaci, zejména u větších sazeb a větších časových období. Chcete-li přesně najít , použijte , kde je efektivní roční úroková sazba. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r = \ ln (1 + i)}$${\ displaystyle i}$

Při oceňování evropských opcí na akcie se známými dividendami, které budou vyplaceny po dobu životnosti opce, se vzorec stane:

${\ displaystyle C (t) -P (t) + D (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T)}$

kde D (t) představuje celkovou hodnotu dividend z jedné akcie, která má být vyplacena po zbývající dobu životnosti opcí, diskontovaná na současnou hodnotu . Rovnici můžeme přepsat jako:

${\ displaystyle C (t) -P (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T) \ -D (t)}$

a všimněte si, že pravá strana je cena forwardové smlouvy na skladě s dodací cenou K , jako dříve.

Derivace

Předpokládáme, že prodejní a nákupní opce jsou na obchodovaných akcích, ale podkladem může být jakékoli jiné obchodovatelné aktivum. Schopnost nakupovat a prodávat podkladové aktivum je zásadní pro argument „bez arbitráže“ níže.

Nejprve si všimněte, že za předpokladu, že neexistují žádné arbitrážní příležitosti (ceny jsou bez arbitráží ), musí mít dvě portfolia, která mají vždy stejnou výplatu v době T, stejnou hodnotu kdykoli dříve. Abychom to dokázali, předpokládejme, že v určitém čase t před T bylo jedno portfolio levnější než druhé. Pak by se dalo koupit (jít dlouho) levnější portfolio a prodat (jít krátce) dražší. V době T by naše celkové portfolio mělo pro jakoukoli hodnotu ceny akcie nulovou hodnotu (všechna aktiva a pasiva byla zrušena). Zisk, kterého jsme dosáhli v čase t, je tedy bezrizikový zisk, ale to porušuje náš předpoklad o žádné arbitráži.

Vztah parity put-call odvodíme vytvořením dvou portfolií se stejnými výplatami ( statická replikace ) a vyvoláním výše uvedeného principu ( racionální cena ).

Zvažte opci s kupní opcí a opci s kupní opcí se stejným úderem K pro vypršení platnosti ke stejnému datu T u některé akcie S , která nevyplácí žádnou dividendu. Domníváme se, že existuje vazba , která platí 1 dolar v čase splatnosti T . Cena dluhopisu může být náhodná (jako akcie), ale při splatnosti se musí rovnat 1.

Nechť cena S je S (t) v čase t. Nyní sestavit portfolio tím, že koupí opci C a prodejní opci P stejné splatnosti T a udeřit K . Návratnost tohoto portfolia je S (T) - K . Nyní sestavte druhé portfolio nákupem jedné akcie a půjčením si K dluhopisů. Všimněte si přínos posledně uvedeného portfolia je také S (T) - K v čase T , protože náš podíl koupil S (t) bude stát za S (T) a vypůjčené dluhopisy budou hodnota K .

Podle našeho předběžného pozorování, že identické výplaty znamenají, že obě portfolia musí mít obecně stejnou cenu , existuje následující vztah mezi hodnotou různých nástrojů: ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle C (t) -P (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T) \,}$

Vzhledem k tomu, že neexistují žádné arbitrážní příležitosti, výše uvedený vztah, známý jako put-call parita , platí a pro jakékoli tři ceny call, put, obligace a akcie lze vypočítat implicitní cenu čtvrté.

V případě dividend lze modifikovaný vzorec odvodit podobným způsobem jako výše, ale s modifikací, že jedno portfolio se skládá z dlouhého volání, krátkodobého prodeje a dluhopisů D (T) , z nichž každý při splatnosti platí 1 dolar T (dluhopisy budou mít hodnotu D (t) v čase t ); druhé portfolio je stejný jako předtím - dlouhý podíl akcií, krátké K dluhopisy, aby každý plat 1 dolar na T . Rozdíl je v tom, že v době T má akcie nejen hodnotu S (T), ale vyplatila D (T) v dividendách.

Dějiny

Formy put-call parity se v praxi objevily již ve středověku a byly formálně popsány řadou autorů na počátku 20. století.

Michael Knoll ve filmu The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage popisuje důležitou roli, kterou ve středověké Anglii hrála put-call parita při rozvoji rovnosti splácení , což je charakteristická vlastnost moderní hypotéky.

V 19. století finančník Russell Sage použil put-call paritu k vytvoření syntetických půjček, které měly vyšší úrokové sazby, než jaké by běžně umožňovaly dobové zákony.

Nelson, obchodník s opčními arbitrážemi v New Yorku, vydal v roce 1904 knihu „The ABC of Options and Arbitrage“, která podrobně popisuje paritu put-call. Jeho kniha byla znovu objevena Espenem Gaarderem Haugem na počátku 2000. let a mnoho odkazů z Nelsonovy knihy je uvedeno v Haugově knize „Derivatives Models on Models“.

Henry Deutsch popisuje paritu put-call v roce 1910 ve své knize „Arbitrage in Bullion, Coins, Bills, Stocks, Shares and Options, 2nd Edition“. Londýn: Engham Wilson, ale méně podrobně než Nelson (1904).

Profesor matematiky Vinzenz Bronzin také odvozuje paritu put-call v roce 1908 a používá ji jako součást svého arbitrážního argumentu k vývoji řady matematických opčních modelů v rámci řady různých distribucí. Práce profesora Bronzina byla nedávno znovu objevena profesorem Wolfgangem Hafnerem a profesorem Heinzem Zimmermannem. Původní Bronzinovo dílo je kniha napsaná v němčině a nyní je přeložena a vydána v angličtině v upraveném díle Hafnera a Zimmermanna („Cenové modely opcí Vinzenz Bronzin“, Springer Verlag ).

Zdá se, že jeho první popis v moderní akademické literatuře je Hans R. Stoll v časopise Journal of Finance .

Dopady

Put-call parita znamená:

• Ekvivalence hovorů a prodejů : Parita znamená, že hovor a prodej lze zaměnitelně použít v jakémkoli delta-neutrálním portfoliu. Pokud je delta volání, pak je nákup hovoru a prodej akcií akcií stejný jako prodej akcií put a prodej akcií. Při obchodování s opcemi je velmi důležitá rovnocennost hovorů a hovorů. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 1-d}$
• Parita implikované volatility : Při absenci dividend nebo jiných nákladů na přepravu (například když je obtížné si půjčit nebo prodat akcie) musí být implicitní volatilita výzev a prodejů identická.

Viz také

• Spot-budoucí parita
• Vinzenz Bronzin

Reference

externí odkazy

• Put-Call parita
  • Put-call parity , tutorial by Salman Khan (pedagog)
  • Put-Call Parity of European Options , putcallparity.net
  • Put-Call Parity and Arbitrage Opportunity , investopedia.com
  • Starověké kořeny moderní finanční inovace: raná historie regulační arbitráže , historie parity Put-Call Michaela Knolla
• Další arbitrážní vztahy
  • Arbitrážní vztahy pro opce , Prof. Thayer Watkins
  • Racionální pravidla a okrajové podmínky pro stanovení ceny opcí ( PDFDi ), prof. Don M. Chance
  • Meze bez arbitráže u opcí , prof. Robert Novy-Marx
• Nástroje
  • Možnost arbitrážních vztahů , Prof.Campbell R. Harvey