Icosagon - Icosagon

Pravidelný icosagon
Pravidelný icosagon
	Pravidelný icosagon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	20
Schläfliho symbol	{20}, t {10}, tt {5}
Coxeterův diagram	;
Skupina symetrie	Vzepětí (D 20 ), objednávka 2 × 20
Vnitřní úhel ( stupně )	162 °
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní , cyklický , rovnostranný , isogonální , isotoxický

V geometrii je icosagon nebo 20-gon dvacetistranný polygon . Součet vnitřních úhlů icosagonu je 3240 stupňů.

Pravidelný icosagon

Pravidelný dvacetiúhelník má Schläfli symbol ${20}$ , a může být také vytvořen jako komolý desetiúhelník , $t {10}$ , nebo dvakrát zkrácen pětiúhelníku , $tt {5}$ .

Jeden vnitřní úhel v běžném icosagonu je 162 °, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 18 °.

Oblast pravidelného dvacetiúhelník s délkou hrany $t$ je

{\ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}) \ simeq 31,5687t ^ {2}. }

Pokud jde o poloměr $R$ jeho circumcircle , oblast je

{\ displaystyle A = {\ frac {5R ^ {2}} {2}} ({\ sqrt {5}} - 1);}

protože plocha kruhu je pravidelný ikosagon vyplňuje přibližně 98,36% svého obvodu. ${\ displaystyle \ pi R ^ {2},}$

Použití

The Big Wheel v populární americké herní show The Price Is Right má ikosagonový průřez.

Globe, venkovní divadlo používané hereckou společností Williama Shakespeara, bylo objeveno, že bylo postaveno na ikosagonovém základu, když byl v roce 1989 proveden částečný výkop.

Jako golygonální cesta je svastika považována za nepravidelný ikosagon.

Pravidelný čtverec, pětiúhelník a ikosagon může úplně vyplnit rovinný vrchol .

Konstrukce

Jako $20 = 2 2 x 5$ , pravidelný dvacetiúhelník je constructible pomocí kompasu a pravítka , nebo pomocí okrajového půlení pravidelného firmy Decagon , nebo dvakrát-větvených pravidelného pětiúhelníku :

Stavba pravidelného icosagonu	Konstrukce pravidelného desetiúhelníku

Zlatý řez v icosagonu

V konstrukci s danou délkou strany kruhový oblouk kolem $C$ s poloměrem $CD$ sdílí segment $E 20 F$ v poměru zlatého řezu.

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {20} E_ {1}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {20} F}} {\ overline {E_ {20} E_ {1}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \ přibližně 1,618}

Ikosagon s danou délkou strany, animace (Konstrukce je velmi podobná jako u desetiúhelníku s danou délkou strany)

Symetrie

Symetrie pravidelného icosagonu. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie. Modrá zrcadla jsou nakreslena vrcholy a fialová zrcadla jsou nakreslena hranou. Gyroskopické příkazy jsou uvedeny ve středu.

Pravidelný dvacetiúhelník má $Dih 20$ symetrie , pořadí 40. Existuje 5 podskupina dihedral symetrie: $(Dih 10, Dih 5)$ , a $(Dih 4, Dih 2, a dihydroxy 1)$ , a 6 cyklické skupiny symetrie: $(Z 20, Z 10, Z 5)$ , a ( $Z 4, Z 2, Z 1)$ .

Těchto 10 symetrií lze vidět na 16 odlišných symetriích na ikosagonu, což je větší počet, protože linie odrazů mohou procházet vrcholy nebo hranami. John Conway je označí dopisem a skupinovou objednávkou. Plná symetrie regulárního tvaru je $r40$ a žádná symetrie není označena $a1$ . Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy ( $d$ pro úhlopříčku) nebo hranami ( $p$ pro svislice), a $i,$ když reflexní čáry procházejí oběma hranami a vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako $g$ pro jejich centrální gyrační řády.

Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze podskupina $g20$ nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany .

Nejvyšší symetrie nepravidelných ikosagonů jsou $d20$ , izogonální ikosagon konstruovaný deseti zrcadly, která mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a $p20$ , isotoxální ikosagon, konstruovaný se stejnou délkou hrany, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou duals navzájem a mají poloviční pořadí symetrie pravidelného dvacetiúhelník.

Pitva

20-gon se 180 kosočtverci
pravidelný	Isotoxální

Coxeter uvádí, že každý zonogon ( $2 m$ -gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky) lze rozdělit na $m (m -1) / 2$ rovnoběžníky. To platí zejména pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro ikosagon $m = 10$ a lze jej rozdělit na čtverce 45: 5 a 4 sady 10 kosočtverců. Tento rozklad je založen na Petrieho polygonové projekci 10 krychle se 45 z 11520 ploch. Seznam OEIS : A006245 vyjmenovává počet řešení na 18 410 581 880, včetně až 20násobných rotací a chirálních forem v odrazu.

Pitva do 45 kosočtverců
10 kostek

Související polygony

Icosagram je 20-stranný hvězda polygon , reprezentovaný symbolem ${20 / n}$ . Schläfliho symboly dávají tři pravidelné formuláře : ${20/3}$ , ${20/7}$ a ${20/9}$ . Existuje také pět pravidelných hvězdných figur (sloučenin), které používají stejné uspořádání vrcholů : $2 {10}$ , $4 {5}$ , $5 {4}$ , $2 {10/3}$ , $4 {5/2}$ a $10 {2}$ .

n	1	2	3	4	5
Formulář	Konvexní mnohoúhelník	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina
obraz	{20/1} = {20}	{20/2} = 2 {10}	{20/3}	{20/4} = 4 {5}	{20/5} = 5 {4}
Vnitřní úhel	162 °	144 °	126 °	108 °	90 °
n	6	7	8	9	10
Formulář	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina	Hvězda mnohoúhelník	Sloučenina
obraz	{20/6} = 2 {10/3}	{20/7}	{20/8} = 4 {5/2}	{20/9}	{20/10} = 10 {2}
Vnitřní úhel	72 °	54 °	36 °	18 °	0 °

Hlubší zkrácení pravidelného firmy Decagon a dekagram mohou produkovat isogonal ( vrchol-Přechodní ) mezilehlé icosagram formy s rovnoměrně rozmístěnými vrcholy a dvěma délkami hran.

Na běžný ikosagram, ${20/9}$ , lze pohlížet jako na kvazitunikovaný desetibon, $t {10/9} = {20/9}$ . Podobně dekagram má ${10/3}$ quasitruncation $t {10/7} = {20/7}$ a nakonec jednoduché zkrácení dekagramu dává $t {10/3} = {20/3}$ .