Coxeter element - Coxeter element

V matematiky se Coxeter číslo h je pořadí z Coxeter prvku z nedělitelný Coxeter skupiny . Je pojmenována po HSM Coxeter .

Definice

Tento článek předpokládá konečnou skupinu Coxeter. Pro nekonečné skupiny Coxeterů existuje několik tříd konjugace prvků Coxeter a mají nekonečný řád.

Existuje mnoho různých způsobů, jak definovat Coxeterovo číslo h neredukovatelného kořenového systému.

Coxeter prvek je produktem všech jednoduchých úvah. Produkt závisí na pořadí, ve kterém jsou odebírány, ale různá uspořádání produkují konjugované prvky, které mají stejné pořadí .

• Coxeterovo číslo je pořadí jakéhokoli Coxeterova prvku; .
• Coxeterovo číslo je 2 m / n , kde n je pořadí a m je počet odrazů. V krystalografickém případě je m polovina počtu kořenů ; a 2m + n je dimenze odpovídající poloprosté Lieovy algebry .
• Pokud je nejvyšší kořen Σ m _i α _i pro jednoduché kořeny α _i , pak je Coxeterovo číslo 1 + Σ m _i .
• Coxeterovo číslo je nejvyšší stupeň základní invarianty Coxeterovy skupiny působící na polynomy.

Coxeterovo číslo pro každý typ Dynkin je uvedeno v následující tabulce:

Coxeterova skupina		Coxeterův diagram	Dynkinův diagram	Odrazy m = nh /2	Coxeter číslo h	Číslo Dual Coxeter	Stupně základních invariantů
A n	[3,3 ..., 3]	...	...	n ( n +1)/2	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3 ..., 3]	...	...	n 2	2 n	2 n - 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n			...			n + 1
D n	[3,3, .. 3 1,1 ]	...	...	n ( n -1)	2 n - 2	2 n - 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n - 2
E 6	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F 4	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G 2	[6]			6	6	4	2, 6
H 3	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H 4	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	p	p		2, s

Invarianty Coxeterovy skupiny působící na polynomy tvoří polynomickou algebru, jejíž generátory jsou základní invarianty; jejich stupně jsou uvedeny v tabulce výše. Všimněte si, že pokud m je stupeň základního invariantu, tak je také h  + 2 -  m .

Vlastní čísla Coxeterova prvku jsou čísla e ^{2π i ( m  - 1)/ h,} když m prochází stupni základních invariantů. Protože to začíná m  = 2, tyto zahrnují primitivní h th kořen jednoty , ζ _h  =  e ^{2π i / h} , což je důležité v Coxeterově rovině , níže.

Skupinová objednávka

Existují vztahy mezi pořadím g skupiny Coxeter a Coxeterovým číslem h :

• [p]: 2h/g _p = 1
• [p, q]: 8/g _{p, q} = 2/p + 2/q -1
• [p, q, r]: 64h/g _{p, q, r} = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
• [p, q, r, s]: 16/g _{p, q, r, s} = 8/g _{p, q, r} + 8/g _{q, r, s} + 2/(ps) - 1/p - 1 /q - 1/r - 1/s +1
• ...

Například [3,3,5] má h = 30, takže 64*30/g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, takže g = 1920*15/2 = 960*15 = 14400.

Coxeterové prvky

Zřetelné prvky Coxeteru odpovídají orientacím Coxeterova diagramu (tj. Dynkinovým toulcům ): jednoduché odrazy odpovídající zdrojovým vrcholům se zapisují nejprve, vrcholy po proudu později a klesají jako poslední. (Volba pořadí mezi nesousedícími vrcholy je irelevantní, protože odpovídají odrazům při dojíždění.) Zvláštní volbou je střídavá orientace, ve které jsou jednoduché odrazy rozděleny do dvou sad nesousedících vrcholů a všechny hrany jsou orientovány z první do druhé sady. Orientace střídavý vytváří zvláštní Coxeter prvek w , který by splňoval , kde w ₀ je nejdelší prvku , za předpokladu, že počet Coxeter h je i. ${\ Displaystyle w^{h/2} = w_ {0}}$

Pro , na symetrické skupiny na n prvků, Coxeter prvky jsou určité N -cycles: produkt jednoduchých odrazů je Coxeter prvek . Pro n sudý je prvek Coxeter se střídavou orientací: ${\ displaystyle A_ {n-1} \ cong S_ {n}}$${\ Displaystyle (1,2) (2,3) \ cdots (n {-} 1 \, n)}$${\ Displaystyle (1,2,3, \ dots, n)}$

${\ Displaystyle (1,2) (3,4) \ cdots (2,3) (4,5) \ cdots = (2,4,6, \ ldots, n {-} 2, n, n {-} 1, n {-} 3, \ ldots, 5,3,1).}$

Mezi n -cykly jsou zřetelné Coxeterovy prvky . ${\ Displaystyle 2^{n-2}}$${\ displaystyle (n {-} 1)!}$

Vzepětí skupina Dih _p je generován dvěma odrazy, které tvoří úhel , a tím oba Coxeter prvky jsou jejich produkt v libovolném pořadí, což je rotace . ${\ Displaystyle 2 \ pi /2p}$${\ Displaystyle \ pm 2 \ pi /p}$

Coxeterovo letadlo

Projekce kořenového systému E ₈ na Coxeterovu rovinu, ukazující 30násobnou symetrii.

Pro daný Coxeterův prvek w existuje jedinečná rovina P, na kterou w působí rotací o 2π/ h. Toto se nazývá Coxeterova rovina a je to rovina, na které P má vlastní čísla e ^{2π i / h} a e ^{−2π i / h}  =  e ^{2π i ( h −1) / h} . Toto letadlo bylo nejprve systematicky studováno v ( Coxeter 1948 ) a následně použito v ( Steinberg 1959 ) k poskytnutí jednotných důkazů o vlastnostech Coxeterových prvků.

Coxeterova rovina se často používá k kreslení diagramů vícerozměrných polytopů a kořenových systémů -vrcholy a hrany polytopu nebo kořeny (a některé hrany, které je spojují) se ortogonálně promítají na Coxeterovu rovinu, čímž se získá Petrieho polygon s h - skládací rotační symetrie. U kořenových systémů žádné kořenové mapy na nulu, což odpovídá Coxeterovu prvku, který nefixuje žádný kořen nebo spíše osu (nemá vlastní číslo 1 nebo −1), takže projekce oběžných drah pod w tvoří h -násobné kruhové uspořádání a je prázdný střed, jako v diagramu E ₈ vpravo nahoře. U polytopů se vrchol může mapovat na nulu, jak je znázorněno níže. Projekce do Coxeterovy roviny jsou pro platonické tělesa znázorněny níže .

Ve třech rozměrech má symetrie pravidelného mnohostěnu , {p, q}, s jedním zaměřeným Petrieho polygonem, definovaným jako kompozit se 3 odrazy, symetrii rotoinverze S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ], řád h . Přidáním zrcadla lze symetrii zdvojnásobit na antiprismatickou symetrii, D _hd , [2 ⁺ , h], řád 2 hodiny . V ortogonální 2D projekci se z toho stává dihedrální symetrie , Dih _h , [h], řád 2 h .

Coxeterova skupina	A 3 T d	B 3 O h		H 3 I h
Pravidelný mnohostěn	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Symetrie	S 4 , [2 + , 4 + ], (2 ×) D 2d , [2 + , 4], (2*2)	S 6 , [2 + , 6 + ], (3 ×) D 3d , [2 + , 6], (2*3)		S 10 , [2 + , 10 + ], (5 ×) D 5d , [2 + , 10], (2*5)
Symetrie roviny Coxeter	Dih 4 , [4], (*4 •)	Dih 6 , [6], (*6 •)		Dih 10 , [10], (*10 •)
Petrieho polygony platonických těles, vykazující 4násobnou, 6násobnou a 10násobnou symetrii.

Ve čtyřech dimenzích je symetrie pravidelného polychoronu , {p, q, r}, s jedním zaměřeným Petrieho polygonem, dvojitou rotací , definovanou jako složený ze 4 odrazů, se symetrií + ¹ / _h [C _h × C _h ] ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ; C _2h /C ₁ ) (#1 ', Patrick du Val (1964)), rozkaz h .

Coxeterova skupina	A 4	B 4		F 4	H 4
Pravidelný polychoron	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Symetrie	+ 1 / 5 [C 5 x C 5 ]	+ 1 / 8 [C 8 × C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 × C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 x C 30 ]
Symetrie roviny Coxeter	Dih 5 , [5], (*5 •)	Dih 8 , [8], (*8 •)		Dih 12 , [12], (*12 •)	Dih 30 , [30], (*30 •)
Petrieho polygony pravidelných 4D pevných látek, které ukazují 5násobnou, 8násobnou, 12násobnou a 30násobnou symetrii.

V pěti rozměrech je symetrie pravidelného 5-mnohostěnu , {p, q, r, s}, s vyznačením jednoho směřujícího Petrieho polygonu, reprezentována složením 5 odrazů.

Coxeterova skupina	A 5	B 5		D 5
Pravidelný polyteron	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	h {4,3,3,3}
Symetrie roviny Coxeter	Dih 6 , [6], (*6 •)	Dih 10 , [10], (*10 •)		Dih 8 , [8], (*8 •)

V dimenzích 6 až 8 existují 3 výjimečné Coxeterovy skupiny; jeden jednotný polytop z každé dimenze představuje kořeny výjimečných Lieových skupin E _n . Prvky Coxeteru jsou 12, 18 a 30.

E _n skupiny

Coxeterova skupina	E6	E7	E8
Graf	1 22	2 31	4 21
Symetrie roviny Coxeter	Dih 12 , [12], (*12 •)	Dih 18 , [18], (*18 •)	Dih 30 , [30], (*30 •)

Viz také

• Nejdelší prvek skupiny Coxeter

Poznámky

Reference