Šikmý polygon - Skew polygon
V geometrii , je výchylka polygon je polygon , jehož vrcholy nejsou všechny v jedné rovině . Šikmé polygony musí mít alespoň čtyři vrcholy . Interiéru povrch (nebo plocha) takového polygonu není jednoznačně definována.
Zkosené nekonečné polygony (apeirogony) mají vrcholy, které nejsou všechny kolineární.
Cik-cak zešikmení polygon nebo antiprismatic mnohoúhelník má vrcholy, které se střídají na dvou rovnoběžných rovinách, a tak musí být i jednostranný.
Pravidelné zkosené polygony ve 3 rozměrech (a pravidelné zkosené apeirogony ve dvou rozměrech) jsou vždy klikaté.
Antiprismatický zkosený mnohoúhelník ve třech rozměrech
Pravidelný mnohoúhelník výchylka je isogonal se stejnými délkami hran. Ve 3 dimenzích je pravidelný zkosený mnohoúhelník klikatý zkosený (nebo antiprismatický ) mnohoúhelník , jehož vrcholy se střídají mezi dvěma rovnoběžnými rovinami. Boční hrany n - antiprism mohou definovat pravidelný šikmý 2 n -gon.
Pravidelný zešikmení n-gon může být poskytnuta Schläfli symbolu {p} # {} jako směsi jednoho pravidelného mnohoúhelníku {p} a ortogonální úsečky {}. Operace symetrie mezi sekvenčními vrcholy je klouzavý odraz .
Příklady jsou uvedeny na jednotném čtvercovém a pětiúhelníkovém antiprism. Tyto hvězdy antiprisms také vytvářet pravidelné mnohoúhelníky zkosení s různými připojení pořadí horní a dolní polygonů. Vyplněné horní a dolní mnohoúhelníky jsou nakresleny z důvodu strukturální jasnosti a nejsou součástí zkosených mnohoúhelníků.
Šikmé náměstí | Šikmý šestiúhelník | Šikmý osmiúhelník | Šikmý dekagon | Šikmý dodekagon | ||
{2} # {} | {3} # {} | {4} # {} | {5} # {} | {5/2} # {} | {5/3} # {} | {6} # {} |
s {2,4} | s {2,6} | s {2,8} | s {2,10} | sr {2,5 / 2} | s {2,10 / 3} | s {2,12} |
Pravidelný složený šikmý 2 n -gon lze podobně zkonstruovat přidáním druhého šikmého polygonu rotací. Ty sdílejí stejné vrcholy jako hranolová sloučenina antiprismů .
Šikmé čtverce | Šikmé šestiúhelníky | Šikmé dekagony | |
Dva {2} # {} | Tři {2} # {} | Dva {3} # {} | Dva {5/3} # {} |
Petrieho polygony jsou pravidelné zkosené polygony definované v pravidelných mnohostěnech a polytopech. Například pět platonických těles má 4-, 6- a 10stranné pravidelné zkosené polygony, jak je vidět v těchto ortogonálních projekcích s červenými okraji kolem příslušných projektivních obálek . Čtyřstěn a osmistěn zahrnují všechny vrcholy v jejich příslušných klikatých zkosených polygonech a lze je považovat za digonální a trojúhelníkový.
Pravidelný zkosený mnohoúhelník jako vrcholná postava pravidelného zkoseného mnohostěnu
Pravidelný mnohostěn zešikmení má pravidelný mnohoúhelník tváře a pravidelný mnohoúhelník na úhlovém natočení číslo vrcholu .
Tři nekonečné pravidelné zkosené mnohostěny vyplňují prostor ve 3 prostoru; jiné existují ve 4-prostoru , některé v jednotných 4-polytopech .
{4,6 | 4} | {6,4 | 4} | {6,6 | 3} |
---|---|---|
Pravidelný zkosený šestiúhelník {3} # {} |
Pravidelný zkosený čtverec {2} # {} |
Pravidelný zkosený šestiúhelník {3} # {} |
Isogonal šikmé polygony ve třech rozměrech
Isogonal výchylka polygon je výchylka polygon s jedním typem vrcholu, který je spojen pomocí dvou typů hran. Isogonal šikmé polygony se stejnou délkou hrany lze také považovat za quasiregular. Je to podobné jako cik-cak šikmý polygon, který existuje ve dvou rovinách, kromě toho, že umožňuje jedné hraně přejít do opačné roviny a druhé hraně zůstat ve stejné rovině.
Isogonal šikmé polygony mohou být definovány na rovnostranných n-gonal hranoly, střídavě po okraji jedné strany polygonu, a pohybující se mezi polygony. Například na vrcholech krychle. Vrcholy se střídají mezi horním a dolním čtvercem s červenými okraji mezi stranami a modrými okraji podél každé strany.
Osmiúhelník | Dodekagon | Icosikaitetragon | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Krychle , čtvercová úhlopříčka |
Krychle |
Překřížená kostka |
Šestihranný hranol |
Šestihranný hranol |
Šestihranný hranol |
Kroucený hranol |
Pravidelné zkosené polygony ve čtyřech rozměrech
Ve 4 rozměrech může mít pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholy na Cliffordově torusu a související s Cliffordovým posunem . Na rozdíl od zig-zag šikmých polygonů mohou šikmé polygony ve dvojitých rotacích obsahovat lichý počet stran.
K Petrie polygony těchto běžných 4-Polytopes definovat pravidelné mnohoúhelníky zkosení. Číslo Coxeter pro každou Coxeter skupiny symetrie vyjadřuje, kolik stranami a Petrie polygon má. To je 5 stran pro 5 buněk , 8 stran pro tesseract a 16 buněk , 12 stran pro 24 buněk a 30 stran pro 120 buněk a 600 buněk .
Když se kolmo promítnou na Coxeterovu rovinu , tyto pravidelné zkosené polygony se objeví jako pravidelné polygonové obálky v rovině.
4 , [3,3,3] | B 4 , [4,3,3] | F 4 , [3,4,3] | H 4 , [5,3,3] | ||
---|---|---|---|---|---|
Pentagon | Osmiúhelník | Dodekagon | Triacontagon | ||
5-buněk {3,3,3} |
tesseract {4,3,3} |
16 buněk {3,3,4} |
24 buněk {3,4,3} |
120 buněk {5,3,3} |
600 buněk {3,3,5} |
Tyto n - n duoprisms a duální duopyramids také 2 n -gonal Petrie polygonů. ( Tesseract je 4-4 duoprism a 16-cell je 4-4 duopyramid.)
Šestiúhelník | Decagon | Dodekagon | |||
---|---|---|---|---|---|
3-3 duoprism |
3-3 duopyramid |
5-5 duoprism |
5-5 duopyramid |
6-6 duoprism |
6-6 duopyramid |
Viz také
- Petrie polygon
- Čtyřúhelník # Šikmý čtyřúhelník
- Pravidelný zkosený mnohostěn
- Skew apeirohedron (nekonečný šikmý mnohostěn)
- Šikmé čáry
Reference
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (prosinec 2002), Abstract Regular Polytopes (1. vyd.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0 p. 25
- Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X . „Šikmé polygony (sedlové polygony)“ §2.2
- Coxeter , HSM; Pravidelné složité polytopy (1974). Kapitola 1. Pravidelné polygony , 1.5. Pravidelné polygony v rozměrech n, 1.7. Cik-cak a antiprismatické polygony , 1.8. Spirálové mnohoúhelníky . 4.3. Vlajky a orthoschémy , 11.3. Petrie polygony
- Coxeter , HSM Petrie Polygons. Regular Polytopes , 3. vyd. New York: Dover, 1973. (bod 2.6 Petrie Polygons s. 24–25 a kapitola 12, s. 213–235, Zobecněný Petrieho polygon )
- Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . (1. vydání, 1957) 5.2 Petrieho polygon {p, q}.
- John Milnor : O celkovém zakřivení uzlů , Ann. Matematika. 52 (1950) 248–257.
- JM Sullivan : Křivky konečného celkového zakřivení , ArXiv: math.0606007v2