Octagon - Octagon
Pravidelný osmiúhelník | |
---|---|
Typ | Pravidelný mnohoúhelník |
Hrany a vrcholy | 8 |
Schläfliho symbol | {8}, t {4} |
Coxeterův diagram |
|
Skupina symetrie | Vzepětí (D 8 ), objednávka 2 × 8 |
Vnitřní úhel ( stupně ) | 135 ° |
Duální mnohoúhelník | Já |
Vlastnosti | Konvexní , cyklický , rovnostranný , isogonální , isotoxický |
V geometrii je osmiúhelník (z řeckého ὀκτάγωνον oktágōnon , „osm úhlů“) osmiboký mnohoúhelník nebo 8-gon.
Pravidelný osmiúhelník má Schläfli symbol {8} a může být také konstruován jako quasiregular zkrácen čtvercový , t {4}, která se střídá dva typy hran. Zkrácený osmiúhelník, t {8} je hexadekagon , {16}. 3D analogem osmiúhelníku může být kosočtverec s trojúhelníkovými plochami, jako jsou nahrazené hrany, pokud je osmiúhelník považován za zkrácený čtverec.
Vlastnosti obecného osmiúhelníku
Součet všech vnitřních úhlů libovolného osmiúhelníku je 1080 °. Stejně jako u všech polygonů je celkový úhel 360 °.
Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců tvoří čtyřúhelník, který je jak ekvidiagonální, tak ortodiagonální (tj. Jehož úhlopříčky jsou stejné délky a vpravo) vzájemné úhly).
Střed osmiúhelník referenčního osmiúhelníku má jeho osmi vrcholů na středových bodech po stranách referenční osmiúhelníku. Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách osmiúhelníku středů, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců samy tvoří vrcholy čtverce.
Pravidelný osmiúhelník
Pravidelný osmiúhelník je uzavřený údaj se stranami o stejné délce a vnitřní úhly o stejné velikosti. Má osm řádků reflexní symetrie a rotační symetrie řádu 8. Pravidelný osmiúhelník je reprezentován Schläfliho symbolem {8}. Vnitřní úhel v každém vrcholu pravidelného osmiúhelníku je 135 ° ( radiány ). Středový úhel 45 ° ( radiány).
Plocha
Plocha pravidelného osmiúhelníku o délce strany a je dána vztahem
Pokud jde o circumradius R , oblast je
Z hlediska apothemu r (viz také vepsaný obrázek ) je oblast
Tyto poslední dva koeficienty uzavírají hodnotu pí , plochu jednotkové kružnice .
Oblast může být také vyjádřena jako
kde S je rozpětí osmiúhelníku nebo druhá nejkratší úhlopříčka; a a je délka jedné ze stran nebo základen. To se snadno osvědčí, když vezmeme osmiúhelník, nakreslíme čtverec zvenčí (ujistíme se, že se čtyři z osmi stran překrývají se čtyřmi stranami čtverce) a poté vezmeme rohové trojúhelníky (to jsou trojúhelníky 45–45–90 ) a umístí je s pravými úhly směřujícími dovnitř, tvořící čtverec. Okraje tohoto čtverce mají délku základny.
Vzhledem k délce vedlejší A , rozpětí S je
Rozpětí se tedy rovná poměru stříbra a straně.
Oblast je pak jak je uvedeno výše:
Vyjádřeno z hlediska rozpětí, oblast je
Další jednoduchý vzorec pro tuto oblast je
Častěji je známo rozpětí S a je třeba určit délku stran, a , jako při řezání čtvercového kusu materiálu do pravidelného osmiúhelníku. Z výše uvedeného
Dvě koncové délky e na každé straně (délky nohou trojúhelníků (na obrázku zelené) zkrácené od čtverce), jakož i lze vypočítat jako
Circumradius a inradius
Circumradius pravidelného osmiúhelníku, pokud jde o boční délkou A je
a inradius je
(to je polovina poměru stříbra krát strana, a , nebo polovina rozpětí, S )
Úhlopříčky
Pravidelný osmiúhelník, pokud jde o délku strany a , má tři různé typy úhlopříček :
- Krátká úhlopříčka;
- Střední úhlopříčka (nazývaná také rozpětí nebo výška), což je dvojnásobek délky inradius;
- Dlouhá úhlopříčka, což je dvojnásobek délky obvodového poloměru.
Vzorec pro každou z nich vyplývá ze základních principů geometrie. Zde jsou vzorce pro jejich délku:
- Short úhlopříčka: ;
- Medium úhlopříčka: ; ( poměr stříbra krát a)
- Dlouhá úhlopříčka: .
Konstrukce a základní vlastnosti
Pravidelný osmiúhelník v daném circumcircle může být sestaven následovně:
- Nakreslete kružnici a průměr AOE, kde O je střed a A, E jsou body na kruhovém kruhu.
- Nakreslete další průměr GOC, kolmo na AOE.
- (Všimněte si, že A, C, E, G jsou vrcholy čtverce).
- Nakreslete půlící čáry pravých úhlů GOA a EOG, čímž vytvoříte další dva průměry HOD a FOB.
- A, B, C, D, E, F, G, H jsou vrcholy osmiúhelníku.
Pravidelný osmiúhelník lze sestrojit pomocí pravítka a kompasu , jako 8 = 2 3 , síly dvou :
Pravidelný osmiúhelník může být konstruován s mekánskými tyčemi. Je požadováno dvanáct pruhů velikosti 4, tři pruhy velikosti 5 a dva pruhy velikosti 6.
Každá strana pravidelného osmiúhelníku subtenduje polovinu pravého úhlu ve středu kruhu, který spojuje jeho vrcholy. Jeho plochu lze tedy vypočítat jako součet 8 rovnoramenných trojúhelníků, což vede k výsledku:
pro osmiúhelník boční a .
Standardní souřadnice
Souřadnice vrcholů pravidelného osmiúhelníku se středem v počátku as délkou strany 2 jsou:
- (± 1, ± (1+ √ 2 ))
- (± (1+ √ 2 ), ± 1).
Pitva
8-krychlová projekce | Disekce 24 kosočtverců | |
---|---|---|
Pravidelný |
Isotoxální |
|
Coxeter uvádí, že každý zonogon (2 m -gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky) lze rozdělit na m ( m -1) / 2 rovnoběžníky. To platí zejména pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelného osmiúhelníku , m = 4, a může být rozdělena do 6 kosočtverců, s jedním příkladem je uvedeno níže. Tento rozklad lze vidět jako 6 z 24 ploch v Petrieho polygonové projekční rovině tesseractu . Seznam (sekvence A006245 v OEIS ) definuje počet řešení jako 8 podle 8 orientací této disekce. Tyto čtverce a kosočtverce se používají v obkladech Ammann – Beenker .
Tesseract |
4 kosočtverce a 2 čtverečky |
Šikmý osmiúhelník
Výchylka osmiúhelník je výchylka mnohoúhelník s 8 vrcholy a hrany, ale není existující ve stejné rovině. Vnitřek takového osmiúhelníku není obecně definován. Zešikmení klikatá osmiúhelník má vrcholy střídavě mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.
Pravidelný výchylka osmiúhelník je vrchol-transitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý osmiúhelník a lze jej vidět na vrcholech a bočních okrajích čtvercového antiprism se stejnou symetrií D 4d , [2 + , 8], řád 16.
Petrie polygony
Pravidelný zkosený osmiúhelník je Petrieho polygon pro tyto vícerozměrné pravidelné a jednotné polytopy , zobrazené v těchto zkosených ortogonálních projekcích v rovinách A 7 , B 4 a D 5 Coxeter .
A 7 | D 5 | B 4 | |
---|---|---|---|
7-simplexní |
5-demicube |
16 buněk |
Tesseract |
Symetrie osmiúhelníku
11 symetrií pravidelného osmiúhelníku. Řádky odrazů jsou modré přes vrcholy, fialové přes hrany a ve středu jsou uvedeny pořadí gyrace. Vrcholy jsou vybarveny polohou symetrie. |
Pravidelný osmiúhelník má Dih 8 symetrie, objednat 16. K dispozici jsou 3 dihedral podskupiny: Dih 4 , Dih 2 , a dihydroxy 1 a 4 cyklické podskupiny : Z 8 , Z 4 , Z 2 a Z 1 , poslední znamenat žádnou symetrii .
r16 |
||
---|---|---|
d8 |
g8 |
p8 |
d4 |
g4 |
p4 |
d2 |
g2 |
p2 |
a1 |
Na pravidelném osmiúhelníku je 11 odlišných symetrií. John Conway označuje plnou symetrii jako r16 . Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy ( d pro úhlopříčku) nebo hranami ( p pro kolmice). Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako g pro jejich centrální gyrační řády. Plná symetrie regulárního tvaru je r16 a žádná symetrie není označena a1 .
Mezi nejběžnější vysoké symetrie osmiúhelníky jsou P8 , An isogonal osmiúhelníku konstruovány čtyři zrcadla se mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a d 8 , An isotoxal osmiúhelník konstruovány se stejnými délkami hran, ale vrcholů se střídají dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou navzájem duály a mají poloviční pořadí symetrie než pravidelný osmiúhelník.
Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze podskupina g8 nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany .
Použití osmiúhelníků
Osmiboký tvar se používá jako designový prvek v architektuře. Skalní dóm má charakteristickou osmiboký plán. Věž větrů v Aténách je dalším příkladem osmiboká konstrukce. Osmiboký plán byl také v církevní architektuře, jako je katedrála sv. Jiří, Addis Abeba , bazilika San Vitale (v Ravenně v Itálii), Castel del Monte (Apulie, Itálie), křtitelnice ve Florencii , kostel Zum Friedefürsten (Německo) a počet osmibokých kostelů v Norsku . Centrální prostor v katedrále v Cáchách , karolínská palatinová kaple , má pravidelný osmiboký půdorys. Využití osmiúhelníky v kostelech patří také menší konstrukční prvky, jako jsou osmiboká apsidou z Nidaros Cathedral .
Architekti jako John Andrews použili osmiboká rozložení podlah v budovách pro funkční oddělení kancelářských prostor od služeb budov, zejména ústředí Intelsat ve Washingtonu DC, kanceláře Callam v Canbeře a kanceláře Octagon v Parramattě v Austrálii.
Jiná použití
Deštníky mají často osmiboký obrys.
Slavný design koberce Bukhara obsahuje osmiboký motiv „sloní nohy“.
Janggi používá osmihranné kusy.
Japonské loterijní stroje mají často osmiboký tvar.
Značka stop používaná v anglicky mluvících zemích i ve většině evropských zemí
Trigramy taoistické baguy jsou často uspořádány osmiboká
Slavný osmiboký zlatý pohár z vraku lodi Belitung
Třídy na Shimer College se tradičně konají kolem osmibokých stolů
Labyrint katedrály v Remeši s tvarem kvazi-osmiboká.
Pohyb analogové páčky (y) regulátoru Nintendo 64 je regulátor GameCube se Wii Nunchuk a Classic Controller je omezen otočený osmibokou prostoru, což umožňuje držet se pohybovat jen osm různých směrů.
Odvozené údaje
Zkrácen čtvercové dlaždice má 2 Octagons asi každý vrchol.
Osmiboký hranol obsahuje dvě osmiúhelníkové tváře.
Osmiboký antiprism obsahuje dvě osmiúhelníkové tváře.
Zkrácen cuboctahedron obsahuje 6 osmiúhelníkové tváře.
Související polytopy
Osmiúhelník , jako komolý čtverec , je první v pořadí zkrácených hypercubes :
obraz | ... | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
název | Osmiúhelník | Zkrácená kostka | Zkrácený tesseract | Zkrácená 5 kostka | Zkrácená 6 kostka | Zkrácená 7 kostka | Zkrácená 8 kostka | |
Coxeterův diagram | ||||||||
Vrcholová postava | () v () |
() v {} |
() v {3} |
() v {3,3} |
() v {3,3,3} | () v {3,3,3,3} | () v {3,3,3,3,3} |
Jako rozšířený čtverec je také první v pořadí rozšířených hyperkrychlí:
... | |||||||
Osmiúhelník | Rhombicuboctahedron | Runcinovaný tesseract | Sterilizovaná 5 kostka | Pentellated 6-cube | Hexikovaná 7 kostka | Heptellovaná 8 kostka | |
Viz také
- Bazén nárazníku
- Octagon dům
- Osmiboké číslo
- Octagram
- Octahedron , 3D tvar s osmi tvářemi.
- Oktogon , hlavní křižovatka v Budapešti , Maďarsko
- Rub el Hizb (také známý jako hvězda Al Quds a Octa Star)
- Vyhlazený osmiúhelník
Reference
externí odkazy
- Kalkulačka osmiúhelníku
- Definice a vlastnosti osmiúhelníku S interaktivní animací