Octagon - Octagon

Pravidelný osmiúhelník
Pravidelný mnohoúhelník 8 anotovaný.svg
Pravidelný osmiúhelník
Typ Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy 8
Schläfliho symbol {8}, t {4}
Coxeterův diagram CDel uzel 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png
Skupina symetrie Vzepětí (D 8 ), objednávka 2 × 8
Vnitřní úhel ( stupně ) 135 °
Duální mnohoúhelník
Vlastnosti Konvexní , cyklický , rovnostranný , isogonální , isotoxický

V geometrii je osmiúhelník (z řeckého ὀκτάγωνον oktágōnon , „osm úhlů“) osmiboký mnohoúhelník nebo 8-gon.

Pravidelný osmiúhelníkSchläfli symbol {8} a může být také konstruován jako quasiregular zkrácen čtvercový , t {4}, která se střídá dva typy hran. Zkrácený osmiúhelník, t {8} je hexadekagon , {16}. 3D analogem osmiúhelníku může být kosočtverec s trojúhelníkovými plochami, jako jsou nahrazené hrany, pokud je osmiúhelník považován za zkrácený čtverec.

Vlastnosti obecného osmiúhelníku

Úhlopříčky zeleného čtyřúhelníku mají stejnou délku a jsou navzájem kolmé

Součet všech vnitřních úhlů libovolného osmiúhelníku je 1080 °. Stejně jako u všech polygonů je celkový úhel 360 °.

Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách osmiúhelníku, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců tvoří čtyřúhelník, který je jak ekvidiagonální, tak ortodiagonální (tj. Jehož úhlopříčky jsou stejné délky a vpravo) vzájemné úhly).

Střed osmiúhelník referenčního osmiúhelníku má jeho osmi vrcholů na středových bodech po stranách referenční osmiúhelníku. Pokud jsou čtverce konstruovány interně nebo externě po stranách osmiúhelníku středů, pak středy segmentů spojujících středy protilehlých čtverců samy tvoří vrcholy čtverce.

Pravidelný osmiúhelník

Pravidelný osmiúhelník je uzavřený údaj se stranami o stejné délce a vnitřní úhly o stejné velikosti. Má osm řádků reflexní symetrie a rotační symetrie řádu 8. Pravidelný osmiúhelník je reprezentován Schläfliho symbolem {8}. Vnitřní úhel v každém vrcholu pravidelného osmiúhelníku je 135 ° ( radiány ). Středový úhel 45 ° ( radiány).

Plocha

Plocha pravidelného osmiúhelníku o délce strany a je dána vztahem

Pokud jde o circumradius R , oblast je

Z hlediska apothemu r (viz také vepsaný obrázek ) je oblast

Tyto poslední dva koeficienty uzavírají hodnotu , plochu jednotkové kružnice .

Oblast z pravidelného osmiúhelníku může být vypočítána jako zkrácený čtverec .

Oblast může být také vyjádřena jako

kde S je rozpětí osmiúhelníku nebo druhá nejkratší úhlopříčka; a a je délka jedné ze stran nebo základen. To se snadno osvědčí, když vezmeme osmiúhelník, nakreslíme čtverec zvenčí (ujistíme se, že se čtyři z osmi stran překrývají se čtyřmi stranami čtverce) a poté vezmeme rohové trojúhelníky (to jsou trojúhelníky 45–45–90 ) a umístí je s pravými úhly směřujícími dovnitř, tvořící čtverec. Okraje tohoto čtverce mají délku základny.

Vzhledem k délce vedlejší A , rozpětí S je

Rozpětí se tedy rovná poměru stříbra a straně.

Oblast je pak jak je uvedeno výše:

Vyjádřeno z hlediska rozpětí, oblast je

Další jednoduchý vzorec pro tuto oblast je

Častěji je známo rozpětí S a je třeba určit délku stran, a , jako při řezání čtvercového kusu materiálu do pravidelného osmiúhelníku. Z výše uvedeného

Dvě koncové délky e na každé straně (délky nohou trojúhelníků (na obrázku zelené) zkrácené od čtverce), jakož i lze vypočítat jako

Circumradius a inradius

Circumradius pravidelného osmiúhelníku, pokud jde o boční délkou A je

a inradius je

(to je polovina poměru stříbra krát strana, a , nebo polovina rozpětí, S )

Úhlopříčky

Pravidelný osmiúhelník, pokud jde o délku strany a , má tři různé typy úhlopříček :

  • Krátká úhlopříčka;
  • Střední úhlopříčka (nazývaná také rozpětí nebo výška), což je dvojnásobek délky inradius;
  • Dlouhá úhlopříčka, což je dvojnásobek délky obvodového poloměru.

Vzorec pro každou z nich vyplývá ze základních principů geometrie. Zde jsou vzorce pro jejich délku:

  • Short úhlopříčka:  ;
  • Medium úhlopříčka:  ; ( poměr stříbra krát a)
  • Dlouhá úhlopříčka: .

Konstrukce a základní vlastnosti

sestavení pravidelného osmiúhelníku složením listu papíru

Pravidelný osmiúhelník v daném circumcircle může být sestaven následovně:

  1. Nakreslete kružnici a průměr AOE, kde O je střed a A, E jsou body na kruhovém kruhu.
  2. Nakreslete další průměr GOC, kolmo na AOE.
  3. (Všimněte si, že A, C, E, G jsou vrcholy čtverce).
  4. Nakreslete půlící čáry pravých úhlů GOA a EOG, čímž vytvoříte další dva průměry HOD a FOB.
  5. A, B, C, D, E, F, G, H jsou vrcholy osmiúhelníku.
Osmiúhelník v daném kruhu
Osmiúhelník při dané délce strany, animace
(Konstrukce je velmi podobná jako u hexadekagonu při dané délce strany .)

Pravidelný osmiúhelník lze sestrojit pomocí pravítka a kompasu , jako 8 = 2 3 , síly dvou :

Pravidelný osmiúhelník zapsaný do kruhu.gif
Konstrukce osmihranu Meccano.

Pravidelný osmiúhelník může být konstruován s mekánskými tyčemi. Je požadováno dvanáct pruhů velikosti 4, tři pruhy velikosti 5 a dva pruhy velikosti 6.

Každá strana pravidelného osmiúhelníku subtenduje polovinu pravého úhlu ve středu kruhu, který spojuje jeho vrcholy. Jeho plochu lze tedy vypočítat jako součet 8 rovnoramenných trojúhelníků, což vede k výsledku:

pro osmiúhelník boční a .

Standardní souřadnice

Souřadnice vrcholů pravidelného osmiúhelníku se středem v počátku as délkou strany 2 jsou:

  • (± 1, ± (1+ 2 ))
  • (± (1+ 2 ), ± 1).

Pitva

8-krychlová projekce Disekce 24 kosočtverců
8 kostek t0 A7.svg 8-gon kosočtverečná pitva-size2.svg
Pravidelný
Isotoxal 8-gon rhombic disection-size2.svg
Isotoxální
8-gonová kosočtvercová disekce 2-size2.svg 8-gonová kosočtvercová disekce 3-size2.svg

Coxeter uvádí, že každý zonogon (2 m -gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky) lze rozdělit na m ( m -1) / 2 rovnoběžníky. To platí zejména pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelného osmiúhelníku , m = 4, a může být rozdělena do 6 kosočtverců, s jedním příkladem je uvedeno níže. Tento rozklad lze vidět jako 6 z 24 ploch v Petrieho polygonové projekční rovině tesseractu . Seznam (sekvence A006245 v OEIS ) definuje počet řešení jako 8 podle 8 orientací této disekce. Tyto čtverce a kosočtverce se používají v obkladech Ammann – Beenker .

Členitý pravidelný osmiúhelník
4 kostka t0.svg
Tesseract
Členitý octagon.svg
4 kosočtverce a 2 čtverečky

Šikmý osmiúhelník

Pravidelný zkosený osmiúhelník viděný jako hrany čtvercového antiprisma , symetrie D 4d , [2 + , 8], (2 * 4), řád 16.

Výchylka osmiúhelník je výchylka mnohoúhelník s 8 vrcholy a hrany, ale není existující ve stejné rovině. Vnitřek takového osmiúhelníku není obecně definován. Zešikmení klikatá osmiúhelník má vrcholy střídavě mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

Pravidelný výchylka osmiúhelník je vrchol-transitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý osmiúhelník a lze jej vidět na vrcholech a bočních okrajích čtvercového antiprism se stejnou symetrií D 4d , [2 + , 8], řád 16.

Petrie polygony

Pravidelný zkosený osmiúhelník je Petrieho polygon pro tyto vícerozměrné pravidelné a jednotné polytopy , zobrazené v těchto zkosených ortogonálních projekcích v rovinách A 7 , B 4 a D 5 Coxeter .

A 7 D 5 B 4
7-simplexní t0.svg
7-simplexní
5-demicube t0 D5.svg
5-demicube
4 kostky t3.svg
16 buněk
4 kostka t0.svg
Tesseract

Symetrie osmiúhelníku

Symetrie
Pravidelné osmiúhelníkové symetrie.png 11 symetrií pravidelného osmiúhelníku. Řádky odrazů jsou modré přes vrcholy, fialové přes hrany a ve středu jsou uvedeny pořadí gyrace. Vrcholy jsou vybarveny polohou symetrie.

Pravidelný osmiúhelník má Dih 8 symetrie, objednat 16. K dispozici jsou 3 dihedral podskupiny: Dih 4 , Dih 2 , a dihydroxy 1 a 4 cyklické podskupiny : Z 8 , Z 4 , Z 2 a Z 1 , poslední znamenat žádnou symetrii .

Příklad osmiúhelníků podle symetrie
Osmiúhelník r16 symetrie.png
r16
Osmiúhelník d8 symetrie.png
d8
Symetrie osmiúhelníku g8.png
g8
Osmiúhelník p8 symetrie.png
p8
Osmiúhelník d4 symetrie.png
d4
Octagon g4 symetry.png
g4
Osmiúhelník p4 symetrie.png
p4
Octagon d2 symetry.png
d2
Octagon g2 symetry.png
g2
Osmiúhelník P2 symetrie.png
p2
Osmiúhelník a1 symetrie.png
a1

Na pravidelném osmiúhelníku je 11 odlišných symetrií. John Conway označuje plnou symetrii jako r16 . Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy ( d pro úhlopříčku) nebo hranami ( p pro kolmice). Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako g pro jejich centrální gyrační řády. Plná symetrie regulárního tvaru je r16 a žádná symetrie není označena a1 .

Mezi nejběžnější vysoké symetrie osmiúhelníky jsou P8 , An isogonal osmiúhelníku konstruovány čtyři zrcadla se mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a d 8 , An isotoxal osmiúhelník konstruovány se stejnými délkami hran, ale vrcholů se střídají dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou navzájem duály a mají poloviční pořadí symetrie než pravidelný osmiúhelník.

Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze podskupina g8 nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany .

Použití osmiúhelníků

Osmiboký půdorys, Skalní dóm.

Osmiboký tvar se používá jako designový prvek v architektuře. Skalní dóm má charakteristickou osmiboký plán. Věž větrů v Aténách je dalším příkladem osmiboká konstrukce. Osmiboký plán byl také v církevní architektuře, jako je katedrála sv. Jiří, Addis Abeba , bazilika San Vitale (v Ravenně v Itálii), Castel del Monte (Apulie, Itálie), křtitelnice ve Florencii , kostel Zum Friedefürsten (Německo) a počet osmibokých kostelů v Norsku . Centrální prostor v katedrále v Cáchách , karolínská palatinová kaple , má pravidelný osmiboký půdorys. Využití osmiúhelníky v kostelech patří také menší konstrukční prvky, jako jsou osmiboká apsidou z Nidaros Cathedral .

Architekti jako John Andrews použili osmiboká rozložení podlah v budovách pro funkční oddělení kancelářských prostor od služeb budov, zejména ústředí Intelsat ve Washingtonu DC, kanceláře Callam v Canbeře a kanceláře Octagon v Parramattě v Austrálii.

Jiná použití

Odvozené údaje

Související polytopy

Osmiúhelník , jako komolý čtverec , je první v pořadí zkrácených hypercubes :

Zkrácené hyperkrychle
obraz Pravidelný mnohoúhelník 8 anotovaný.svg 3 kostka t01.svgZkrácený hexahedron.png 4 kostka t01.svgSchlegel polotuhý zkrácený tesseract.png 5-krychle t01.svg5-kostka t01 A3.svg 6-krychle t01.svg6-kostka t01 A5.svg 7-kostka t01.svg7-kostka t01 A5.svg 8-cube t01.svg8-krychle t01 A7.svg ...
název Osmiúhelník Zkrácená kostka Zkrácený tesseract Zkrácená 5 kostka Zkrácená 6 kostka Zkrácená 7 kostka Zkrácená 8 kostka
Coxeterův diagram CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Vrcholová postava () v () Zkrácená krychle vertfig.png
() v {}
Zkrácený 8článkový verf.png
() v {3}
Zkrácený 5-krychlový verf.png
() v {3,3}
() v {3,3,3} () v {3,3,3,3} () v {3,3,3,3,3}

Jako rozšířený čtverec je také první v pořadí rozšířených hyperkrychlí:

Rozšířené hyperkrychle
Pravidelný mnohoúhelník 8 anotovaný.svg 3 kostky t02.svgMalý kosočtverec.png 4 kostky t03.svgSchlegel polotuhý runcinovaný 8 buněk. Png 5 kostek t04.svg5 kostek t04 A3.svg 6 kostek t05.svg6-krychle t05 A5.svg 7 kostka t06.svg7 kostka t06 A5.svg 8 kostek t07.svg8 kostek t07 A7.svg ...
Osmiúhelník Rhombicuboctahedron Runcinovaný tesseract Sterilizovaná 5 kostka Pentellated 6-cube Hexikovaná 7 kostka Heptellovaná 8 kostka
CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.png

Viz také

Reference

externí odkazy