Uzavřený výraz - Closed-form expression

V matematiky , je analytické řešení je matematický výraz uveden s použitím konečný počet standardních operací. Může obsahovat konstanty , proměnné , určitá „známých“ operace (např, + - x ÷), a funkce (například n- tá odmocnina , exponent , logaritmus , trigonometrické funkce , a inverzní hyperbolické funkce ), ale obvykle ne omezení , diferenciace nebo integrace . Sada operací a funkcí přijatých ve výrazu uzavřené formy se může lišit podle autora a kontextu.

Příklad: kořeny polynomů

Řešení libovolné kvadratické rovnice se složitými koeficienty lze vyjádřit v uzavřené formě z hlediska sčítání , odčítání , násobení , dělení a extrakce druhé odmocniny , z nichž každá je elementární funkcí . Například kvadratická rovnice

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}$

je traktovatelný, protože jeho řešení lze vyjádřit jako uzavřený výraz, tj. z hlediska elementárních funkcí:

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Podobně lze řešení kubických a kvartických rovnic (třetího a čtvrtého stupně) vyjádřit pomocí aritmetických, odmocninových a krychlových kořenů nebo alternativně pomocí aritmetických a trigonometrických funkcí. Existují však kvintické rovnice bez řešení uzavřeného tvaru využívající elementární funkce, například x ⁵  -  x  + 1 = 0.

Oblast studia matematiky, která se obecně označuje jako Galoisova teorie, zahrnuje prokázání, že v určitých kontextech neexistuje žádný výraz v uzavřené formě, založený na ústředním příkladu řešení polynomů v uzavřené formě.

Alternativní definice

Změna definice „dobře známého“ tak, aby zahrnovala další funkce, může změnit sadu rovnic s uzavřeným řešením. Mnoho kumulativních distribučních funkcí nelze vyjádřit v uzavřené formě, ledaže bychom považovali speciální funkce , jako je chybová funkce nebo funkce gama, za dobře známé. Je možné vyřešit kvintickou rovnici, pokud jsou zahrnuty obecné hypergeometrické funkce , ačkoli řešení je příliš komplikované algebraicky, než aby bylo užitečné. U mnoha praktických počítačových aplikací je zcela rozumné předpokládat, že funkce gama a další speciální funkce jsou dobře známé, protože numerické implementace jsou široce dostupné.

Analytický výraz

Analytický výraz (nebo výraz v analytickém tvaru ) je matematický výraz konstruovány s použitím dobře známých operace, které se půjčují snadno k výpočtu. Podobně jako u uzavřených výrazů se sada známých povolených funkcí může lišit podle kontextu, ale vždy zahrnuje základní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení), umocňování na skutečný umocněnec (který zahrnuje extrakci n th root ), logaritmy a trigonometrické funkce.

Třída výrazů považovaných za analytické výrazy má však tendenci být širší než u výrazů uzavřené formy. Zejména jsou obvykle povoleny speciální funkce , jako jsou Besselovy funkce a funkce gama , často i nekonečné řady a pokračující zlomky . Na druhou stranu jsou obecně vyloučeny limity a zejména integrály .

Pokud analytický výraz zahrnuje pouze algebraické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování na racionální exponent) a racionální konstanty, pak se konkrétněji označuje jako algebraický výraz .

Porovnání různých tříd výrazů

Výrazy uzavřené formy jsou důležitou podtřídou analytických výrazů, které obsahují omezený nebo neomezený počet aplikací známých funkcí. Na rozdíl od širších analytických výrazů výrazy uzavřené formy neobsahují nekonečné řady nebo pokračující zlomky ; nezahrnuje integrály ani limity . Podle věty Stone – Weierstrass lze jakoukoli spojitou funkci na jednotkovém intervalu vyjádřit jako limit polynomů, takže jakákoli třída funkcí obsahujících polynomy a uzavřených pod limity bude nutně zahrnovat všechny spojité funkce.

Podobně se říká , že rovnice nebo soustava rovnic má řešení v uzavřené formě , a to pouze v případě, že alespoň jedno řešení lze vyjádřit jako výraz v uzavřené formě; a říká se, že má analytické řešení právě tehdy, když lze alespoň jedno řešení vyjádřit jako analytický výraz. Tam je jemný rozdíl mezi „uzavřené formy funkce “ a „ uzavřeného tvaru čísla “ v diskusi o „řešení uzavřené formy“, je uvedeno v ( Chow 1999 ) a pod . Uzavřené nebo analytické řešení se někdy označuje jako explicitní řešení .

Nakládání s neuzavřenými výrazy

Transformace do uzavřených výrazů

Výraz:

${\ displaystyle f (x) = \ součet _ {i = 0} ^ {\ infty} {x \ nad 2 ^ {i}}}$

není v uzavřené formě, protože součet s sebou nese nekonečné množství elementárních operací. Sečtením geometrické řady lze však tento výraz vyjádřit v uzavřené formě:

${\ displaystyle f (x) = 2x.}$

Diferenciální Galoisova teorie

Integrál výrazu uzavřené formy může nebo nemusí být sám o sobě vyjádřitelný jako výraz uzavřené formy. Tato studie se označuje jako diferenciální Galoisova teorie , analogicky s algebraickou Galoisovou teorií.

Základní teorém diferenciální Galoisovy teorie je způsoben Josephem Liouvilleem ve 30. a 40. letech 20. století, a proto je označován jako Liouvilleova věta .

Standardní příklad elementární funkce, jejíž primitivní funkce nemá výraz uzavřené formy, je:

${\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$

jehož jedním primitivem je ( až do multiplikativní konstanty) chybová funkce :

${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt .}$

Matematické modelování a počítačová simulace

Rovnice nebo systémy příliš složité pro uzavřená nebo analytická řešení lze často analyzovat matematickým modelováním a počítačovou simulací .

Číslo uzavřeného formuláře

Tři podpole komplexních čísel C byla navržena jako kódující pojem „uzavřeného čísla“; v rostoucím pořadí obecnosti jsou to Liouvillianova čísla (nezaměňovat s Liouvilleovými čísly ve smyslu racionální aproximace), EL čísla a základní čísla . Tyto Liouvillian čísla , označil L , tvoří nejmenší algebraicky uzavřený subfield C uzavřen pod umocňování a logaritmu (formálně, křižovatka všech těchto podpolí) to jest, čísla, které zahrnují explicitní umocňování a logaritmy, ale umožňují explicitních a implicitních polynomy (kořeny polynomy); to je definováno v ( Ritt 1948 , str. 60). L bylo původně označováno jako elementární čísla , ale tento termín se nyní používá v širším smyslu k označení čísel definovaných explicitně nebo implicitně, pokud jde o algebraické operace, exponenciály a logaritmy. Užší definice navržená v ( Chow 1999 , s. 441–442), označená E a označovaná jako čísla EL , je nejmenší podpole C uzavřené exponenciací a logaritmem - toto nemusí být algebraicky uzavřeno a odpovídá explicitní algebraické , exponenciální a logaritmické operace. „EL“ znamená „exponenciálně – logaritmický“ i jako zkratka pro „elementární“.

To, zda je číslo v uzavřené formě, souvisí s tím, zda je číslo transcendentální . Formálně Liouvillianova čísla a základní čísla obsahují algebraická čísla a zahrnují některá, ale ne všechna transcendentální čísla. Naproti tomu čísla EL neobsahují všechna algebraická čísla, ale obsahují některá transcendentální čísla. Čísla v uzavřené formě lze studovat pomocí transcendentální teorie čísel , ve které je hlavním výsledkem Gelfondova-Schneiderova věta a hlavní otevřenou otázkou je Schanuelova domněnka .

Numerické výpočty

Pro účely numerických výpočtů není obecně nutné být v uzavřené formě, protože lze efektivně vypočítat mnoho limitů a integrálů.

Převod z numerických forem

Existuje software, který se pokouší najít uzavřené výrazy pro číselné hodnoty, včetně RIES, identifikovat v Maple a SymPy , Plouffe's Inverter a Inverzní symbolickou kalkulačku .

Viz také

• Algebraické řešení
• Konečný provoz
• Numerické řešení
• Počítačová simulace
• Symbolická regrese
• Termín (logika)
• Liouvillianova funkce
• Základní funkce

Reference

Další čtení

• Ritt, JF (1948), Integrace v konečných termínech
• Chow, Timothy Y. (květen 1999), „What is a Closed-Form Number?“, American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math / 9805045 , doi : 10,2307 / 2589148 , JSTOR  2589148
• Jonathan M. Borwein a Richard E. Crandall (leden 2013), „Closed Forms: What They Are and Why We Care“, Oznámení Americké matematické společnosti , 60 (1): 50–65, doi : 10,1090 / noti936

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Uzavřené řešení“ . MathWorld .