Algebraické číslo - Algebraic number
Algebraické číslo je jakékoliv komplexní číslo (včetně reálných čísel ), který je kořen z nenulovým polynomu (to znamená, je hodnota, která způsobí, že se polynom rovnat 0) v jedné proměnné s racionálními koeficienty (nebo ekvivalentně, prostřednictvím clearingového jmenovatele , s celočíselnými koeficienty).
Všechna celá čísla a racionální čísla jsou algebraická, stejně jako všechny kořeny celých čísel . Skutečná a komplexní čísla, která nejsou algebraická, například π a e , se nazývají transcendentální čísla .
Množina komplexních čísel je uncountable , ale soubor algebraických čísel je počitatelná a má nulové míry v opatření Lebesgue jako podmnožina z komplexních čísel. V tomto smyslu jsou téměř všechna komplexní čísla transcendentální .
Příklady
- Všechna racionální čísla jsou algebraická. Jakékoli racionální číslo, vyjádřené jako podíl celého čísla a a (nenulové) přirozené číslo b , splňuje výše uvedenou definici, protože x = A/bje kořen nenulového polynomu, konkrétně bx - a .
- Kvadratická iracionální čísla kvadratické polynomické osy 2 + bx + c s celočíselnými koeficienty a , b , a c ) jsou algebraická čísla. Pokud je kvadratický polynom monický ( a = 1 ), kořeny se dále kvalifikují jako kvadratická celá čísla .
- Constructible číslo může být vyrobena z dané délky jednotku pomocí pravítka a kompas. Obsahuje všechny kvadratické iracionální kořeny, všechna racionální čísla a všechna čísla, která z nich lze vytvořit pomocí základních aritmetických operací a extrakce odmocnin. (Označením hlavních směrů pro 1, −1, i a - i se komplexní čísla považují za konstruovatelná.)
- Jakýkoli výraz vytvořený z algebraických čísel pomocí jakékoli kombinace základních aritmetických operací a extrakce n -tých kořenů dává další algebraické číslo.
- Polynomiální kořeny, které nelze vyjádřit pomocí základních aritmetických operací a extrakce n -tých kořenů (jako jsou kořeny x 5 - x + 1 ). To se stává u mnoha, ale ne u všech polynomů stupně 5 nebo vyššího.
- Gaussova celá čísla , komplexní čísla a + bi, pro něž a a b jsou celá čísla, jsou také kvadratická celá čísla.
- Hodnoty goniometrických funkcí z racionálních násobcích n (s výjimkou, kdy nedefinované): to znamená, že goniometrické čísla , jako je cosπ/7, cos3 π/7, cos5 π/7splňuje 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . Polynom je nad racionály neredukovatelný, a tak jsou tři kosiny konjugovaná algebraická čísla. Stejně tak opálení3 π/16, tan7 π/16, tan11 π/16, tan15 π/16splňují ireducibilní polynom x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , a tak jsou konjugovaná algebraická celá čísla .
- Některá, ale ne všechna iracionální čísla jsou algebraická:
- Čísla a jsou algebraický protože jsou kořeny polynomu x 2 - 2 a 8 x 3 - 3 , v uvedeném pořadí.
- Zlatý poměr φ je algebraický, protože to je kořen polynomu x 2 - x - 1 .
- Čísla π a e nejsou algebraická čísla (viz Lindemann – Weierstrassova věta ).
Vlastnosti
- Vzhledem k algebraickému číslu existuje jedinečný monický polynom (s racionálními koeficienty) nejmenšího stupně, který má toto číslo jako kořen. Tento polynom se nazývá jeho minimální polynom . Pokud má jeho minimální polynom stupeň n , pak se říká, že algebraické číslo je stupně n . Například všechna racionální čísla mají stupeň 1 a algebraické číslo stupně 2 je kvadratická iracionální .
- Skutečná algebraická čísla jsou v reálných oblastech hustá , lineárně uspořádaná a bez prvního nebo posledního prvku (a proto je izomorfní k řadě racionálních čísel).
- Množina algebraických čísel je spočitatelná (vyčíslitelná), a proto její Lebesgueova míra jako podmnožina komplexních čísel je 0 (v zásadě algebraická čísla nezabírají v komplexních číslech žádné místo). To znamená, že „téměř všechna“ skutečná a komplexní čísla jsou transcendentální.
- Všechna algebraická čísla jsou vypočítatelná, a proto definovatelná a aritmetická .
- Pro reálná čísla a a b je komplexní číslo a + bi algebraické právě tehdy, jsou -li a i b algebraické.
Pole
Součet, rozdíl, součin a kvocient (je -li jmenovatel nenulový) dvou algebraických čísel je opět algebraický, jak lze prokázat pomocí výslednice , a algebraická čísla tak tvoří pole (někdy označeno , ale obvykle označuje adele prsten ). Každý kořen polynomické rovnice, jejíž koeficienty jsou algebraická čísla, je opět algebraický. To lze přeformulovat tím, že pole algebraických čísel je algebraicky uzavřeno . Ve skutečnosti je to nejmenší algebraicky uzavřené pole obsahující racionály, a proto se nazývá algebraické uzavření racionálů.
Samotná sada skutečných algebraických čísel tvoří pole.
Související pole
Čísla definovaná radikály
Všechna čísla, která lze získat z celých čísel pomocí konečného počtu komplexních sčítání , odčítání , násobení , dělení a získávání n th kořenů, kde n je kladné celé číslo ( radikální výrazy ), jsou algebraické. Opak však není pravdivý: existují algebraická čísla, která nelze tímto způsobem získat. Tato čísla jsou kořeny polynomů stupně 5 nebo vyššího, což je výsledek Galoisovy teorie (viz Quintické rovnice a Abel – Ruffiniho věta ). Například rovnice:
má jedinečný skutečný kořen, který je dán:
kde
je zobecněná hypergeometrická funkce .
Číslo v uzavřeném formuláři
Algebraická čísla jsou všechna čísla, která lze definovat explicitně nebo implicitně pomocí polynomů, počínaje racionálními čísly. Lze to zobecnit na „ čísla uzavřeného tvaru “, která mohou být definována různými způsoby. Nejobecněji řečeno, všechna čísla, která lze definovat explicitně nebo implicitně pomocí polynomů, exponenciálů a logaritmů, se nazývají „ elementární čísla “, mezi něž patří algebraická čísla a některá transcendentální čísla. Velmi úzce lze uvažovat o číslech výslovně definovaných ve smyslu polynomů, exponenciálů a logaritmů - to nezahrnuje všechna algebraická čísla, ale zahrnuje některá jednoduchá transcendentální čísla, jako je e nebo ln 2 .
Algebraická celá čísla
Algebraické celé číslo je algebraické číslo, které je kořen polynom s celočíselnými koeficienty s předními koeficient 1 (A monic polynomu ). Příklady algebraických celých čísel jsou a proto algebraická celá čísla představují správné nadmnožinu z celých čísel , protože ty jsou kořeny monic polynomu x - k pro všechna k ∈ . V tomto smyslu algebraická celá čísla jsou algebraická čísla, jaká jsou celá čísla pro racionální čísla .
Součet, rozdíl a součin algebraických celých čísel jsou opět algebraická celá čísla, což znamená, že algebraická celá čísla tvoří prsten . Název algebraické celé číslo pochází ze skutečnosti, že jediná racionální čísla, která jsou algebraickými celými čísly, jsou celá čísla, a protože algebraická celá čísla v libovolném číselném poli jsou v mnoha ohledech analogická s celými čísly. Jestliže K je číslo pole, jeho kruh celých čísel je subring algebraických celých čísel v K , a je často označován jako O K . Toto jsou prototypové příklady domén Dedekind .
Speciální třídy
- Algebraické řešení
- Gaussovo celé číslo
- Eisensteinovo celé číslo
- Kvadratické iracionální číslo
- Základní jednotka
- Kořen jednoty
- Gaussovské období
- Číslo Pisot – Vijayaraghavan
- Salemovo číslo
Poznámky
Reference
- Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
- Hardy, GH a Wright, EM 1978, 2000 (s obecným rejstříkem) Úvod do teorie čísel: 5. vydání , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
- Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
- Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised 3rd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Niven, Ivan 1956. Iracionální čísla , Carus Matematická monografie č. 11, Mathematical Association of America .
- Ore, Øystein 1948, 1988, Teorie čísel a její historie , Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)