Quaternion - Quaternion
1 | já | j | k | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | já | j | k |
já | já | -1 | k | - j |
j | j | - k | -1 | já |
k | k | j | - já | -1 |
V matematiky je čtveřice číslo systém rozšiřuje komplexní čísla . Quaterniony poprvé popsal irský matematik William Rowan Hamilton v roce 1843 a aplikoval je na mechaniku v trojrozměrném prostoru . Hamilton definoval kvaternion jako podíl dvou směrovaných čar v trojrozměrném prostoru, nebo ekvivalentně jako podíl dvou vektorů . Násobení čtveřic je nekomutativní .
Kvaterniony jsou obecně zastoupeny ve formě
kde a , b , c a d jsou reálná čísla ; a i , j a k jsou základní čtveřice .
Quaterniony se používají v čisté matematice , ale mají také praktické využití v aplikované matematice , zejména pro výpočty zahrnující trojrozměrné rotace , například v trojrozměrné počítačové grafice , počítačovém vidění a analýze krystalografické textury . Mohou být použity společně s jinými způsoby otáčení, jako jsou Eulerovy úhly a rotační matice , nebo jako jejich alternativa v závislosti na aplikaci.
V moderním matematickém jazyce tvoří kvaterniony čtyřdimenzionální asociativní normovanou divizní algebru nad reálnými čísly, a tedy také doménu . Algebra čtveřic je často označována H (pro Hamiltona ) nebo tučně na tabuli podle Může to být také dáno klasifikací Cliffordovy algebry Ve skutečnosti to byla první objevená nekomutativní dělící algebra .
Podle Frobeniusovy věty je algebra jedním z pouhých dvou konečných rozměrových dělících prstenů obsahujících vlastní podřetězec izomorfní ke skutečným číslům; druhým jsou komplexní čísla. Tyto prsteny jsou také euklidovské algebry Hurwitz , z nichž čtveřice jsou největší asociativní algebrou . Další rozšíření čtveřice získá ne-asociativní octonions , což je poslední normed rozdělení algebry přes reálných čísel. ( Sedeniony , rozšíření oktonionů, mají nulové dělitelé, a proto nemohou být normovanou divizní algebrou.)
Tyto jednotkové čtveřice si lze představit jako volba skupiny struktury na 3-koule S 3 , který dává skupiny Spin (3) , který je izomorfní SU (2), a také k univerzální obal o SO (3) .
Dějiny
Čtveřice byly představeny Hamilton v roce 1843. Důležité prekurzory pro tuto práci zahrnuty čtyři čtvereční identitu Eulerovu (1748) a Olinde Rodrigues " parametrizaci obecných otáček pomocí čtyř parametrů (1840), avšak ani jeden z těchto autorů ošetřených na natočení čtyř parametrů jako algebra. Carl Friedrich Gauss také objevil čtveřice v roce 1819, ale tato práce byla vydána až v roce 1900.
Hamilton věděl, že komplexní čísla lze interpretovat jako body v rovině , a hledal způsob, jak udělat totéž pro body v trojrozměrném prostoru . Body v prostoru mohou být reprezentovány jejich souřadnicemi, což jsou trojice čísel, a po mnoho let věděl, jak sčítat a odčítat trojice čísel. Dlouho se však zasekl v problému násobení a dělení. Nedokázal přijít na to, jak vypočítat podíl souřadnic dvou bodů v prostoru. Ve skutečnosti Ferdinand Georg Frobenius později v roce 1877 dokázal, že aby byla algebra dělení přes skutečná čísla konečno-dimenzionální a asociativní, nemůže být trojrozměrná a existují pouze tři takové algebry dělení: (komplexní čísla) a (čtveřice) ), které mají rozměr 1, 2 a 4.
Velký průlom v čtveřicích nakonec přišel v pondělí 16. října 1843 v Dublinu , když byl Hamilton na cestě do Královské irské akademie, kde se chystal předsedat zasedání rady. Když kráčel se svou ženou po vlečné stezce Královského kanálu , v mysli se mu rýsovaly pojmy za čtveřicemi. Když na něj přišla odpověď, Hamilton nedokázal odolat nutkání vytesat vzorec pro čtveřice,
do kamene Broughamského mostu, když se na něm zastavil. Ačkoli řezba od té doby odezněla, od roku 1989 se koná každoroční pouť nazvaná Hamiltonova procházka pro vědce a matematiky, kteří na památku Hamiltonova objevu kráčí od Dunsink Observatory k mostu Royal Canal.
Následující den napsal Hamilton svému příteli a matematikovi Johnu T. Gravesovi dopis s popisem myšlenkového proudu, který vedl k jeho objevu. Tento dopis byl později publikován v dopise do Londýna, Edinburghu a Dublinského filozofického časopisu a Journal of Science ; Hamilton uvádí:
A tady mi došlo, že musíme v jistém smyslu přiznat čtvrtou dimenzi prostoru pro účely výpočtu s trojkami ... Zdálo se, že se elektrický obvod uzavřel a zazářila jiskra.
Hamilton nazval čtyřnásobek s těmito pravidly násobení čtveřicí a většinu zbytku svého života věnoval jejich studiu a výuce. Hamiltonova léčba je více geometrická než moderní přístup, který zdůrazňuje algebraické vlastnosti kvaternionů . Založil školu „kvaternionistů“ a pokusil se kvaterniony popularizovat v několika knihách. Poslední a nejdelší z jeho knih, Elements of Quaternions , měla 800 stran; byl upraven jeho synem a publikován krátce po jeho smrti.
Po Hamiltonově smrti se skotský matematický fyzik Peter Tait stal hlavním exponentem čtveřic. V této době byly čtveřice povinným tématem zkoušky v Dublinu. Témata z fyziky a geometrie, která by nyní byla popsána pomocí vektorů, jako je kinematika v prostoru a Maxwellovy rovnice , byla popsána zcela pomocí kvaternionů. Existovala dokonce profesionální výzkumná asociace Quaternion Society zabývající se studiem kvaternionů a dalších hyperkomplexních číselných systémů.
Od poloviny 80. let 19. století začaly být čtveřice vytlačovány vektorovou analýzou , kterou vyvinuli Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside a Hermann von Helmholtz . Vektorová analýza popisovala stejné jevy jako kvaterniony, a tak si některé myšlenky a terminologie vypůjčila liberálně z literatury o kvaternionech. Vektorová analýza však byla koncepčně jednodušší a notačně čistší a nakonec kvaterniony byly odsunuty do menší role v matematice a fyzice . Vedlejším efektem tohoto přechodu je, že Hamiltonova práce je pro mnoho moderních čtenářů těžko pochopitelná. Hamiltonovy původní definice nejsou známé a jeho styl psaní byl rozvláčný a těžko se řídil.
Kvaterniony však mají oživení od konce 20. století, především kvůli jejich užitečnosti při popisu prostorových rotací . Reprezentace rotací čtveřicemi jsou kompaktnější a jejich výpočet je rychlejší než reprezentace maticemi . Navíc na rozdíl od Eulerových úhlů nejsou náchylné na „ kardanový zámek “. Z tohoto důvodu se čtveřice používají v počítačové grafice , počítačovém vidění , robotice , teorii řízení , zpracování signálu , řízení postoje , fyzice , bioinformatice , molekulární dynamice , počítačových simulacích a orbitální mechanice . Například je běžné, že systémy řízení polohy kosmických lodí jsou ovládány kvaterniony. Kvaternionové získali další podporu z teorie čísel kvůli jejich vztahům s kvadratickými formami .
Kvaterniony ve fyzice
PR Girardova esej z roku 1984 Quaternionová skupina a moderní fyzika pojednává o některých rolích quaternionů ve fyzice. Esej ukazuje, jak různé fyzikální kovarianční skupiny, jmenovitě SO (3) , Lorentzova skupina, skupina obecné teorie relativity, Cliffordova algebra SU (2) a konformní skupina, lze snadno spojit se čtveřicí v moderní algebře . Girard začal diskutovat skupiny reprezentace a tím, že reprezentuje určité prostorové skupiny z krystalografie . Pokračoval ke kinematice pohybu tuhého těla . Dále použil komplexní kvaterniony ( biquaterniony ) k reprezentaci Lorentzovy skupiny speciální relativity, včetně Thomasovy precese . Citoval pět autorů, počínaje Ludwikem Silbersteinem , který využil potenciální funkci jedné čtveřičné proměnné k vyjádření Maxwellových rovnic v jediné diferenciální rovnici . Pokud jde o obecnou relativitu, vyjádřil vektor Runge -Lenz . Jako instanci Cliffordovy algebry zmínil Cliffordské biquaterniony ( split-biquaternions ). Nakonec, s odvoláním na vzájemnost biquaternionu, popsal Girard konformní mapy v časoprostoru . Mezi padesát referencí zahrnoval Girard Alexandra Macfarlana a jeho Bulletin of Quaternion Society . V roce 1999 ukázal, jak lze Einsteinovy rovnice obecné relativity formulovat v Cliffordově algebře, která je přímo spojena s kvaterniony.
Zjištění z roku 1924, že v kvantové mechanice lze otáčení elektronu a dalších částic hmoty (známých jako spinory ) popsat pomocí kvaternionů, podpořilo jejich zájem; kvaterniony pomohly pochopit, jak lze rozeznat otáčení elektronů o 360 ° od otáčení elektronů o 720 ° („ trik s deskami “). Od roku 2018 jejich použití nepředběhlo rotační skupiny .
Definice
Čtveřice je výraz ve tvaru
kde a , b , c , d , jsou reálná čísla , a i , j , k , jsou symboly, které lze interpretovat jako jednotkové vektory směřující podél tří prostorových os. V praxi platí, že pokud jeden z a , b , c , d je 0, odpovídající člen je vynechán; jestliže a , b , c , d jsou všechny nulové, je kvaternion nulovým kvaternionem , označeným 0; pokud se jedno z b , c , d rovná 1, odpovídající výraz se zapíše jednoduše i , j nebo k .
Hamilton popisuje čtveřici , která se skládá ze skalární části a vektorové části. Čtvrtletí se nazývá vektorová část (někdy imaginární část ) q a a je skalární část (někdy skutečná část ) q . Kvaternion, který se rovná jeho skutečné části (to znamená, že jeho vektorová část je nulová), se nazývá skalární nebo reálný kvaternion a je identifikován s odpovídajícím reálným číslem. To znamená, že skutečná čísla jsou vložena do čtveřic. (Přesněji řečeno, pole reálných čísel je izomorfní k podmnožině kvaternionů. Pole komplexních čísel je také izomorfní ke třem podmnožinám kvaternionů.) Kvaternion, který se rovná jeho vektorové části, se nazývá vektorový kvaternion .
Sada čtveřic je vytvořena jako 4dimenzionální vektorový prostor nad reálnými čísly, jako základ přidáním po částech
a komponentní skalární násobení
Multiplikativní skupinovou strukturu, nazývanou Hamiltonův produkt , označenou vedle sebe, lze na kvaternionech definovat následujícím způsobem:
- Skutečný kvaternion 1 je prvek identity .
- Tyto skutečné čtveřice dojíždí se všemi ostatními čtveřic, která je aq = qa pro každé čtveřice q a každé reálné čtveřice A . V algebraické terminologii to znamená, že pole skutečných kvaternionů je středem této quaternionové algebry.
- Součin je nejprve uveden pro základní prvky (viz následující pododdíl) a poté rozšířen na všechny kvaterniony pomocí distribuční vlastnosti a středové vlastnosti skutečných kvaternionů. Hamiltonův součin není komutativní , ale asociativní , takže čtveřice tvoří asociativní algebru nad reálnými čísly.
- Navíc každý nenulový kvaternion má inverzní vůči produktu Hamilton:
Kvaterniony tedy tvoří divizní algebru.
Násobení základních prvků
× | 1 | já | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | já | j | k |
já | já | -1 | k | - j |
j | j | - k | -1 | já |
k | k | j | - já | -1 |
Násobení 1 základními prvky i , j a k je definováno skutečností, že 1 je multiplikativní identita , tj.
Ostatní produkty základních prvků jsou definovány z produktových pravidel pro a
a
Potom se další pravidla produkt se získají nahrazením o a použitím asociativitu a antikomutativita o a (to je, ), který dává
Centrum
Centrum z nekomutativní kruhu je subring prvků, c tak, že cx = xc pro každou x . Střed kvaternionové algebry je podoblastí skutečných čtveřic. Ve skutečnosti je součástí definice, že skuteční čtveřici patří do centra. A naopak, pokud q = a + b i + c j + d k patří středu, pak
a c = d = 0 . Podobný výpočet s j místo i ukazuje, že jeden má také b = 0 . Tak q = je skutečný čtveřice.
Kvaterniony tvoří divizní algebru. To znamená, že nekomutativita násobení je jedinou vlastností, která odlišuje čtveřice od pole . Tato nekomutativita má některé neočekávané důsledky, mezi nimi například to, že polynomická rovnice přes kvaterniony může mít odlišnější řešení než stupeň polynomu. Například, rovnice z 2 + 1 = 0 , má nekonečně mnoho čtveřice řešení, která jsou čtveřice z = b i + c j + d k tak, že b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tyto „kořeny –1“ tedy tvoří jednotkovou sféru v trojrozměrném prostoru vektorových čtveřic.
Výrobek Hamilton
Pro dva prvky a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k a a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k je jejich součin nazýván Hamiltonovým součinem ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ), je určeno součinem základních prvků a distribučního zákona . Distribuční právo umožňuje rozšířit produkt tak, aby byl souhrnem produktů základních prvků. To dává následující výraz:
Nyní lze základní prvky znásobit pomocí výše uvedených pravidel a získat:
Součin dvou rotačních kvaternionů bude ekvivalentní rotaci a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k následované rotací a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k .
Skalární a vektorové části
Čtvrtina tvaru a + 0 i + 0 j + 0 k , kde a je skutečné číslo, se nazývá skalární a čtveřice tvaru 0 + b i + c j + d k , kde b , c , a d jsou reálná čísla a alespoň jedno z b , c nebo d je nenulové, se nazývá vektorový kvaternion . Pokud a + b i + c j + d k je jakýkoli kvaternion, pak a se nazývá jeho skalární část a b i + c j + d k se nazývá jeho vektorová část . I když každý kvaternion lze považovat za vektor ve čtyřrozměrném vektorovém prostoru, je běžné označovat vektorovou část jako vektory v trojrozměrném prostoru. S touto konvencí je vektor stejný jako prvek vektorového prostoru
Hamilton také nazýval vektorové čtveřice pravými čtveřicemi a reálnými čísly (považovanými za čtveřice s nulovou vektorovou částí) skalárními čtveřicemi .
Pokud je čtveřice rozdělena na skalární část a vektorovou část, tj.
pak vzorce pro sčítání a násobení jsou
kde „ “ a „ “ označují bodový součin a křížový součin .
Konjugace, norma a vzájemnost
Konjugace kvaternionů je analogická konjugaci komplexních čísel a transpozici (také známé jako obrácení) prvků Cliffordových algeber. Abychom to definovali, nechme být čtveřicí. Konjugát z q je čtveřice . To je označováno q * , q t , , nebo q . Konjugace je involuce , což znamená, že je její vlastní inverzní , takže konjugace prvku dvakrát vrátí původní prvek. Konjugát produktu dvou kvaternionů je produktem konjugátů v opačném pořadí . To znamená, že pokud p a q jsou kvaterniony, pak ( pq ) ∗ = q ∗ p ∗ , nikoli p ∗ q ∗ .
Konjugace kvaternionu, v ostrém kontrastu ke komplexnímu nastavení, může být vyjádřena násobením a přidáním kvaternionů:
Konjugaci lze použít k extrakci skalárních a vektorových částí kvaternionu. Skalární část p je 1/2( P + p * ) , a vektor část p je1/2( p - p ∗ ) .
Druhá odmocnina součinu kvaternionu s jeho konjugátem se nazývá jeho norma a označuje se || q || (Hamilton volal toto množství na tenzor z q , ale konflikty s moderním smyslu „ tensor “). Ve vzorcích je to vyjádřeno následovně:
Toto je vždy nezáporné reálné číslo a je stejné jako euklidovská norma považovaná za vektorový prostor . Násobení čtveřice skutečným číslem zmenší jeho normu absolutní hodnotou čísla. To znamená, že pokud je α skutečné, pak
Toto je zvláštní případ skutečnosti, že norma je multiplikativní , což znamená, že
pro libovolná dvě čtveřice p a q . Multiplikativita je důsledkem vzorce pro konjugát produktu. Případně to vyplývá z identity
(kde i označuje obvyklou imaginární jednotku ), a tedy z multiplikativní vlastnosti determinantů čtvercových matic.
Tato norma umožňuje definovat vzdálenost d ( p , q ) mezi p a q jako normu jejich rozdílu:
Tím se vytvoří metrický prostor . Sčítání a násobení jsou v metrické topologii spojité . Skutečně, pro jakýkoli skalární, pozitivní a platí
Souvislost vyplývá z přechodu a na nulu v limitu. Podobně platí spojitost pro násobení.
Unit quaternion
Jednotka čtveřice je čtveřice z normy jeden. Dělení nenulový čtveřici q podle jeho normou vytváří jednotka čtveřice U q nazývá versor z q :
Každý kvaternion má polární rozklad .
Pomocí konjugace a normy je možné definovat převrácenost nenulového kvaternionu. Součin kvaternionu s jeho převrácenou hodnotou by se měl rovnat 1 a z výše uvedených úvah vyplývá, že součin a je 1 (pro každé pořadí násobení). Takže reciproční of q je definován jako
To umožňuje rozdělit dva kvaterniony p a q dvěma různými způsoby (když q je nenulové). To znamená, že jejich podíl může být buď p q −1 nebo q −1 p ; obecně se tyto produkty liší v závislosti na pořadí násobení, kromě zvláštního případu, že p a q jsou navzájem skalární násobky (což zahrnuje případ, kdy p = 0 ). Proto ten zápisp/qje nejednoznačný, protože neurčuje, zda q dělí vlevo nebo vpravo (zda q −1 násobí p vlevo nebo vpravo).
Algebraické vlastnosti
Množina všech čtveřic je vektorový prostor nad reálnými čísly s dimenzí 4. Násobení kvaternionů je asociativní a distribuuje se přes sčítání vektorů, ale s výjimkou skalární podmnožiny není komutativní. Proto jsou čtveřice nekomutativní, asociativní algebra přes reálná čísla. Přestože obsahuje kopie komplexních čísel, nejedná se o asociativní algebru nad komplexními čísly.
Protože je možné rozdělit kvaterniony, tvoří divizní algebru. Jedná se o strukturu podobnou poli s výjimkou nekomutativity násobení. Algebry konečných rozměrů asociativního dělení na reálná čísla jsou velmi vzácné. Frobeniova věta říká, že tam jsou přesně tři: , a . Norma dělá čtveřice do normované algebry a normované divize algebry přes reálná čísla jsou také velmi vzácné: Hurwitz teorém říká, že existují pouze čtyři: , , a (dále jen octonions). Kvaterniony jsou také příkladem kompoziční algebry a jednotné Banachovy algebry .
Protože součin jakýchkoli dvou bazických vektorů je plus nebo minus jiný bázový vektor, sada {± 1, ± i , ± j , ± k } tvoří skupinu pod multiplikací. Tato neabelská skupina se nazývá kvartérní skupina a označuje se Q 8 . Skutečný kruhovou skupinu z Q 8 je kruh , který je také osm-rozměrný vektorový prostor přes To má jednu základní vektor pro každý prvek čtveřice jsou izomorfní s kvocientu kruhu ze které ideálu generovaného prvků 1 + (-1 ) , i + ( - i ) , j + ( - j ) a k + ( - k ) . Zde je první člen v každém z rozdílů jedním ze základních prvků 1, i , j a k a druhý termín je jedním ze základních prvků −1, - i , - j a - k , nikoli aditivní inverze z 1, i , j a k .
Kvaterniony a prostorová geometrie
Vektorová část čtveřice může být interpretována jako souřadnicový vektor, proto algebraické operace čtveřic odrážejí geometrii operací, jako je vektorová tečka a křížové produkty mohou být definovány z hlediska čtveřic, a to umožňuje aplikovat kvaternionové techniky všude tam, kde vznikají prostorové vektory. Užitečnou aplikací čtveřic bylo interpolace orientací klíčových snímků v počítačové grafice.
Pro zbývající části tohoto oddílu, i , j a k se označují jak tři imaginární bazických vektorů a základ pro Výměna i o - i , j o - j a k o - k pošle vektor jeho přísada inverzní , aditivní inverze vektoru je tedy stejná jako jeho konjugát jako kvaternion. Z tohoto důvodu se konjugaci někdy říká prostorová inverze .
Pro dva vektorové kvaterniony p = b 1 i + c 1 j + d 1 k a q = b 2 i + c 2 j + d 2 k jejich bodový součin , analogicky s vektory v je
Může být také vyjádřen způsobem bez komponent jako
To se rovná skalárním částem produktů pq ∗ , qp ∗ , p ∗ q a q ∗ p . Všimněte si, že jejich vektorové části jsou různé.
Součin z p a q vzhledem k orientaci určuje objednané základ i , j a k je
(Připomeňme, že k určení znaménka je nutná orientace.) To se rovná vektorové části součinu pq (jako kvaterniony), stejně jako vektorové části - q ∗ p ∗ . Má to také vzorec
Pro komutátor , [ p , q ] = pq - qp , ze dvou vektorových čtveřic získáme
Obecně nechť p a q jsou kvaterniony a píší
kde p s a q s jsou skalární části a p v a q v jsou vektorové části p a q . Pak máme vzorec
To ukazuje, že nekomutativnost násobení čtveřice pochází z násobení vektorových čtveřic. Ukazuje také, že dva čtveřice dojíždějí právě tehdy, když jsou jejich vektorové části kolineární. Hamilton ukázal, že tento produkt vypočítává třetí vrchol sférického trojúhelníku ze dvou daných vrcholů a s nimi spojených délek oblouku, což je také algebra bodů v eliptické geometrii .
Jednotkové kvaterniony lze identifikovat s rotacemi a Hamilton je nazýval versory . Další informace o modelování trojrozměrných rotací pomocí kvaternionů najdete také v části Kvaterniony a prostorové otáčení .
Viz Hanson (2005) pro vizualizaci čtveřic.
Maticové reprezentace
Stejně jako komplexní čísla mohou být reprezentována jako matice , tak mohou být i čtveřice. Existují nejméně dva způsoby, jak reprezentovat čtveřice jako matice takovým způsobem, že sčítání a násobení kvaternionů odpovídá sčítání matice a násobení matice . Jednou je použít 2 × 2 komplexní matice a druhou použít 4 × 4 skutečné matice. V každém případě je daná reprezentace jednou z rodiny lineárně souvisejících reprezentací. V terminologii abstraktní algebry , to jsou injektivní homomorfizmy z do matrice kruhy M (2, ℂ) a M (4, ℝ) , v daném pořadí.
Pomocí 2 × 2 komplexních matic může být čtveřice a + bi + cj + dk reprezentována jako
Všimněte si, že „i“ komplexních čísel se liší od „i“ čtveřic.
Tato reprezentace má následující vlastnosti:
- Omezení jakýchkoli dvou z b , c a d na nulu vytvoří reprezentaci komplexních čísel. Například nastavení c = d = 0 vytvoří diagonální komplexní maticovou reprezentaci komplexních čísel a nastavení b = d = 0 vytvoří skutečnou maticovou reprezentaci.
- Norma čtveřice (druhá odmocnina součinu s jeho konjugátem, stejně jako u komplexních čísel) je druhá odmocnina z determinantu odpovídající matice.
- Konjugát kvaternionu odpovídá konjugátové transpozici matice.
- Omezením tato reprezentace poskytuje izomorfismus mezi podskupinou jednotkových kvaternionů a jejich obrazem SU (2) . Topologicky jsou jednotkové kvaterniony 3 koule, takže podkladový prostor SU (2) je také 3 koule. Skupina SU (2) je důležitá pro popis spinu v kvantové mechanice ; viz matice Pauli .
- Mezi kvaternionovými jednotkami a Pauliho maticemi existuje silný vztah. Získejte osm matic čtveřice jednotek tak, že vezmete a , b , c a d , tři z nich nastavíte na nulu a čtvrtou na 1 nebo -1. Vynásobením libovolných dvou Pauliho matic se vždy získá matice čtveřice jednotek, všechny kromě −1. Jeden získá −1 prostřednictvím i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1; např. poslední rovnost je
Pomocí 4 × 4 skutečných matic lze stejný kvaternion zapsat jako
Zastoupení kvaternionů v M (4, ℝ) však není jedinečné. Například stejný kvaternion může být také reprezentován jako
Existuje 48 odlišných maticových reprezentací této formy, ve kterých jedna z matic představuje skalární část a další tři jsou šikmo symetrické. Přesněji řečeno, existuje 48 sad čtyřnásobků matic s těmito omezeními symetrie tak, že funkce posílající 1, i , j a k maticím ve čtyřnásobku je homomorfismus, to znamená, že posílá součty a součinů čtveřic na součty a výrobky z matric. V této reprezentaci odpovídá konjugát čtveřice transpozici matice. Čtvrtá mocnina normy čtveřice je determinantem odpovídající matice. Stejně jako u výše uvedené komplexní reprezentace 2 × 2 lze složitá čísla opět vytvořit vhodným omezením koeficientů; například jako blokové diagonální matice se dvěma bloky 2 × 2 nastavením c = d = 0 .
Každá maticová reprezentace čtveřic 4 × 4 odpovídá multiplikační tabulce jednotkových kvaternionů. Například poslední výše uvedená maticová reprezentace odpovídá multiplikační tabulce
× | A | d | - b | - c |
---|---|---|---|---|
A | A | d | −b | −c |
- d | - d | A | C | −b |
b | b | - c | A | - d |
C | C | b | d | A |
který je izomorfní - skrz - do
× | 1 | k | - já | - j |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | k | - já | - j |
- k | - k | 1 | j | - já |
já | já | - j | 1 | - k |
j | j | já | k | 1 |
Omezení jakékoli takové multiplikační tabulky, aby měla identitu v prvním řádku a sloupci a aby znaky záhlaví řádků byly opačné než znaky záhlaví sloupců, pak existují 3 možné možnosti pro druhý sloupec (ignorování znaménka), 2 možné volby pro třetí sloupec (ignorující znak) a 1 možná volba pro čtvrtý sloupec (ignorující znak); což dává 6 možností. Potom může být druhý sloupec vybrán buď jako kladný nebo záporný, třetí sloupec může být kladný nebo záporný a čtvrtý sloupec může být vybrán jako kladný nebo záporný, což dává 8 možností znaménka. Vynásobením možnosti pro písmeno pozice a pro jejich značky výnosy 48. Pak se nahradí 1 s , i s b , j s c a k s d a odstranění záhlaví řádků a sloupců poskytuje matice znázornění na + b i + c j + d k .
Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích
Kvaterniony jsou také použity v jednom z důkazů Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích v teorii čísel , která říká, že každé nezáporné celé číslo je součtem čtyř celých čtverců. Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích, která je sama o sobě elegantní větou, má užitečné aplikace v oblastech matematiky mimo teorii čísel, jako je teorie kombinatorického designu . Quaternion-based proof uses Hurwitz quaternions, a subring of the ring of all quaternions for which there is an analog of the Euclidean algorithm .
Kvaterniony jako páry komplexních čísel
Kvaterniony mohou být reprezentovány jako páry komplexních čísel. Z tohoto pohledu jsou čtveřice výsledkem aplikace konstrukce Cayley – Dickson na komplexní čísla. Toto je zobecnění konstrukce komplexních čísel jako dvojic reálných čísel.
Nechť je dvojrozměrný vektorový prostor nad komplexními čísly. Vyberte základ skládající se ze dvou prvků 1 a j . Vektor lze zapsat pomocí základních prvků 1 a j jako
Pokud definujeme j 2 = −1 a i j = - j i , pak můžeme vynásobit dva vektory pomocí distribučního zákona. Použití k jako zkrácené notace pro produkt i j vede ke stejným pravidlům pro násobení jako obvyklé čtveřice. Výše uvedený vektor komplexních čísel tedy odpovídá čtveřici a + bi + c j + d k . Napíšeme -li prvky jako uspořádané páry a čtveřice jako čtyřnásobky, pak korespondence je
Odmocniny
Odmocniny −1
V komplexních číslech jsou pouze dvě čísla, i a - i , jejichž čtverec je −1. V je nekonečně mnoho odmocnin minus jedna: řešení kvaternionu pro odmocninu -1 je jednotková sféra v Chcete -li to vidět, nechť q = a + b i + c j + d k je kvaternion a předpokládejme, že jeho čtverec je −1. Z hlediska a , b , c a d to znamená
Aby byly splněny poslední tři rovnice, buď a = 0 nebo b , c , a d jsou všechny 0. To druhé není možné, protože a je skutečné číslo a první rovnice by znamenala, že a 2 = −1 . Proto a = 0 a b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Jinými slovy: Kvaternion se umocní na −1 právě tehdy, pokud je to vektorový kvaternion s normou 1. Podle definice tvoří sada všech takových vektorů jednotkovou sféru.
Pouze negativní skutečné čtveřice mají nekonečně mnoho odmocnin. Všechny ostatní mají pouze dva (nebo jeden v případě 0).
Jako spojení složitých letadel
Každý pár odmocnin −1 vytvoří zřetelnou kopii komplexních čísel uvnitř čtveřic. Pokud q 2 = −1 , pak je kopie určena funkcí
Jedná se o injective kruh homomorphism z na která vymezuje pole izomorfismus z na jeho obrazu . Obrázky vložení odpovídajících q a - q jsou totožné.
Každý nereálný kvaternion generuje subalgebru kvaternionů, která je izomorfní a je tedy rovinným podprostorem zápisu q jako součtu jeho skalární části a jeho vektorové části:
Rozložte vektorovou část dále jako součin její normy a jejího versoru :
(Všimněte si, že toto není stejné jako .) Tento versor vektoru části q , , je pravý versor s -1 jako jeho náměstí. Přímé ověření to ukazuje
definuje injekční aplikaci homomorfismus z normovaných algebry od do čtveřic. Za tohoto homomorfismu je q obraz komplexního čísla .
Stejně jako sjednocení obrazů všech těchto homomorfismů to umožňuje prohlížení čtveřic jako spojení složitých rovin protínajících se na skutečné linii . Každá z těchto složitých rovin obsahuje přesně jeden pár antipodálních bodů sféry odmocnin minus jedna.
Komutativní podřetězce
Vztah kvaternionů k sobě v rámci komplexních podrovin lze také identifikovat a vyjádřit pomocí komutativních podřetězců . Konkrétně, protože dva kvaterniony p a q dojíždějí (tj. Pq = qp ) pouze tehdy, pokud leží ve stejné komplexní podplošině , profil jako spojení komplexních rovin vzniká, když se člověk snaží najít všechny komutativní podřetězy kvaternionového prstence .
Odmocniny libovolných čtveřic
Jakýkoli kvaternion (zde reprezentovaný ve skalárně -vektorové reprezentaci) má alespoň jednu odmocninu, která řeší rovnici . Když se podíváme na skalární a vektorové části v této rovnici samostatně, získáme dvě rovnice, které po vyřešení poskytnou řešení
kde je norma a je normou . Pro jakýkoli skalární kvaternion tato rovnice poskytuje správné odmocniny, pokud je interpretována jako libovolný jednotkový vektor.
Proto nenulové, neskalární kvaterniony nebo pozitivní skalární kvaterniony mají přesně dva kořeny, zatímco 0 má přesně jeden kořen (0) a negativní skalární kvaterniony mají nekonečně mnoho kořenů, což jsou vektorové kvaterniony umístěné na , tj. kde skalární část je nula a vektorová část je umístěna na 2-sféře s poloměrem .
Funkce proměnné quaternion
Stejně jako funkce komplexní proměnné , funkce proměnné quaternion naznačují užitečné fyzické modely. Například původní elektrická a magnetická pole popsaná Maxwellem byla funkcí quaternionové proměnné. Mezi příklady dalších funkcí patří rozšíření sady Mandelbrot a Julia do 4 dimenzionálního prostoru.
Exponenciální, logaritmické a mocenské funkce
Vzhledem k tomu, čtveřice,
exponenciál se vypočítá jako
a logaritmus je
Z toho vyplývá, že může být zapsán polární rozklad čtveřice
kde úhel
a jednotkový vektor je definován:
Jakýkoli jednotkový kvaternion může být vyjádřen v polární formě jako:
- .
Síla čtveřice zvýšena na libovolný (reálný) exponent x je dána vztahem:
Geodetická norma
Geodetické vzdálenost d g ( p , q ), mezi čtveřic jednotky p a q je definován jako:
a rovná absolutní hodnotě poloviny zorný úhel p a q podél velkého oblouku na S 3 koule. Tento úhel lze také vypočítat z produktu čtveřice teček bez logaritmu jako:
Trojrozměrné a čtyřrozměrné rotační skupiny
Slovo " konjugace ", kromě výše uvedeného významu, může také znamenat převzetí prvku a do r a r −1, kde r je nějaký nenulový kvaternion. Všechny prvky, které jsou konjugovány k danému prvku (v tomto smyslu slova konjugát), mají stejnou skutečnou část a stejnou normu vektorové části. (Konjugát v druhém smyslu je tedy jedním z konjugátů v tomto smyslu.)
Multiplikativní skupina nenulových kvaternionů tedy působí konjugací na kopii sestávající z kvaternionů se skutečnou částí rovnou nule. Konjugace jednotkovým kvaternionem (kvaternionem absolutní hodnoty 1) se skutečnou částí cos ( φ ) je rotace o úhel 2 φ , přičemž osa rotace je směr vektorové části. Výhody čtveřic jsou:
- Vyhýbání se kardanovému zámku , problém se systémy, jako jsou Eulerovy úhly.
- Rychlejší a kompaktnější než matice .
- Neklasická reprezentace (ve srovnání například s Eulerovými úhly).
- Páry jednotkových kvaternionů představují rotaci ve 4D prostoru (viz Rotace ve 4 dimenzionálním euklidovském prostoru: Algebra 4D rotací ).
Soubor všech čtveřic jednotky ( versors ) tvoří 3-koule S 3 a skupina (a skupina lži ) pod násobením, dvojité krycí skupina SO (3, ℝ) reálných ortogonálních 3 x 3 matic z determinant 1 od dvou jednotce čtveřice odpovídá každé rotaci v rámci výše uvedené korespondence. Podívejte se na trik s talíři .
Obraz podskupiny versorů je bodová skupina a naopak předobraz bodové skupiny je podskupinou versorů. Předobraz konečné skupiny bodů se nazývá stejným názvem s binární předponou . Například předobrazem ikosahedrální skupiny je binární ikosahedrální skupina .
Skupina versorů je izomorfní k SU (2) , skupině komplexních unitárních matic 2 × 2 determinantu 1.
Nechť A je množina čtveřic tvaru a + b i + c j + d k, kde a, b, c, a d jsou buď všechna celá čísla, nebo všechna poloviční čísla . Sada A je prsten (ve skutečnosti doména ) a mřížka a nazývá se prsten Hurwitzových čtveřic. V tomto prstenu je 24 jednotkových kvaternionů a jsou to vrcholy pravidelné 24 buňky se Schläfliho symbolem {3,4,3}. Odpovídají dvojitému krytu skupiny rotační symetrie pravidelného čtyřstěnu . Podobně lze vrcholy pravidelné 600 buňky se Schläfliho symbolem {3,3,5 } brát jako jednotkové icosiany , což odpovídá dvojitému krytu skupiny rotační symetrie pravidelného icosahedronu . Dvojitý kryt skupiny rotační symetrie pravidelného osmistěnu odpovídá čtveřicím, které představují vrcholy disenoidních 288 buněk .
Kvaternionové algebry
Quaterniony lze zobecnit na další algebry zvané quaternionové algebry . Vezměte F jako jakékoli pole s charakteristikou odlišnou od 2, a a a b jsou prvky F ; čtyřrozměrné unitární asociativní algebry může být definována přes F s bázi 1, i , j , a ij , kde i 2 = , J 2 = b a ij = - Ji (tak (ij) 2 = - ab ).
Kvaternionové algebry jsou izomorfní na algebru 2 × 2 matic nad F nebo tvoří dělení algeber nad F , v závislosti na volbě a a b .
Quaternions jako sudá část Cl 3,0 (ℝ)
Užitečnost quaternionů pro geometrické výpočty lze zobecnit na jiné dimenze identifikací quaternionů jako sudé části Cliffordovy algebry Jedná se o asociativní multivektorovou algebru vytvořenou ze základních základních prvků σ 1 , σ 2 , σ 3 pomocí produktových pravidel
Pokud jsou tyto základní elementy považovány za reprezentující vektory v 3D prostoru, pak se ukazuje, že odraz vektoru r v rovině kolmé na jednotkový vektor w lze zapsat:
Dva odrazy způsobí otočení o úhel dvojnásobek úhlu mezi dvěma rovinami odrazu, takže
odpovídá otáčení o 180 ° v rovině obsahující σ 1 a σ 2 . To je velmi podobné odpovídajícímu kvaternionovému vzorci,
Ve skutečnosti jsou tyto dva identické, pokud provedeme identifikaci
a je snadné potvrdit, že tím jsou zachovány hamiltonské vztahy
Na tomto obrázku takzvané „vektorové kvaterniony“ (tj. Čisté imaginární kvaterniony) neodpovídají vektorům, ale bivektorům -veličinám s velikostí a orientacemi spojenými s konkrétními 2D rovinami, spíše než 1D směry . Vztah ke komplexním číslům se také vyjasňuje: ve 2D, se dvěma vektorovými směry σ 1 a σ 2 , existuje pouze jeden bivektorový základní prvek σ 1 σ 2 , tedy pouze jeden imaginární. Ale ve 3D se třemi vektorovými směry existují tři bivektorové základní prvky σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , tedy tři imaginární.
Tato úvaha se dále rozšiřuje. V Cliffordově algebře je šest bivektorových základních prvků, protože se čtyřmi různými základními vektorovými směry lze definovat šest různých párů, a tedy šest různých lineárně nezávislých rovin. Rotace v takových prostorech pomocí těchto zobecnění čtveřic, nazývaných rotory , mohou být velmi užitečné pro aplikace zahrnující homogenní souřadnice . Ale pouze ve 3D se počet bazických bivektorů rovná počtu bazických vektorů a každý bivektor lze identifikovat jako pseudovektor .
Umístění čtveřic v tomto širším prostředí má několik výhod:
- Rotory jsou přirozenou součástí geometrické algebry a lze je snadno pochopit jako kódování dvojitého odrazu.
- V geometrické algebře žije rotor a objekty, na které působí, ve stejném prostoru. To eliminuje potřebu měnit reprezentace a kódovat nové datové struktury a metody, což je tradičně vyžadováno při rozšiřování lineární algebry o kvaterniony.
- Rotory jsou univerzálně použitelné na jakýkoli prvek algebry, nejen na vektory a další kvaterniony, ale také na čáry, roviny, kruhy, koule, paprsky atd.
- V konformním modelu euklidovské geometrie rotory umožňují kódování rotace, translace a škálování v jediném prvku algebry, univerzálně působící na jakýkoli prvek. Zejména to znamená, že rotory mohou představovat rotace kolem libovolné osy, zatímco kvaterniony jsou omezeny na osu skrz počátek.
- Transformace kódované rotorem činí interpolaci obzvláště jednoduchou.
- Rotory přenést přirozeně pseudo-Euclidean prostorech , například v Minkowski prostor a speciální teorie relativity . V takových prostorách mohou být rotory použity k efektivní reprezentaci Lorentzových boostů a k interpretaci vzorců zahrnujících gama matice .
Další podrobnosti o geometrickém použití Cliffordových algeber naleznete v části Geometrická algebra .
Skupina Brauer
Kvaterniony jsou „v podstatě“ jedinou (netriviální) centrální jednoduchou algebrou (CSA) nad reálnými čísly v tom smyslu, že každý CSA nad reálnými čísly je Brauer ekvivalentní buď skutečným číslům, nebo kvaternionům. Brauerova skupina skutečných čísel se explicitně skládá ze dvou tříd, reprezentovaných skutečnými čísly a čtveřicemi, kde Brauerova skupina je množinou všech CSA, až do ekvivalenčního vztahu jednoho CSA, který je maticovým prstencem nad druhým. Podle Artin-Wedderburnovy věty (konkrétně Wedderburnovy části) jsou CSA všechny maticové algebry nad dělící algebrou, a proto jsou čtveřice jedinou netriviální dělící algebrou nad skutečnými čísly.
CSA-prstence nad polem, což jsou jednoduché algebry (nemají netriviální oboustranné ideály, stejně jako u polí), jejichž středem je přesně pole-jsou nekomutativním analogem rozšiřujících polí a jsou restriktivnější než obecná rozšíření prstenů . Skutečnost, že čtveřice jsou jediným netriviálním CSA nad reálnými čísly (až do ekvivalence), lze porovnat se skutečností, že komplexní čísla jsou jediným netriviálním rozšířením pole skutečných čísel.
Citáty
Považuji to za neeleganci nebo nedokonalost v kvaternionech, nebo spíše ve stavu, do kterého se to dosud vyvíjelo, kdykoli to začne nebo se zdá být nezbytné, aby bylo možné použít x, y, z atd.
- William Rowan Hamilton
Říká se, že čas má pouze jednu dimenzi a prostor má tři dimenze. ... Matematický kvaternion se účastní obou těchto prvků; v technickém jazyce lze říci, že je to „čas plus prostor“ nebo „prostor plus čas“: a v tomto smyslu má, nebo alespoň zahrnuje odkaz na, čtyři dimenze. A jak by mohl být připoután Ten z času, z prostoru Tři, v řetězu symbolů .
- William Rowan Hamilton
Quaternionové pocházeli z Hamiltonu poté, co byla odvedena jeho opravdu dobrá práce; a přestože byli krásně důmyslní, byli nesmíšeným zlem pro ty, kteří se jich jakýmkoli způsobem dotkli, včetně ředitele Maxwella .
- W. Thompson, Lord Kelvin (1892)
Později jsem zjistil, že pokud jde o požadovanou vektorovou analýzu, kvaternion byl nejen požadovaný, ale byl také pozitivním zlem bez zanedbatelné velikosti; a že jeho vyhýbání se zavedení vektorové analýzy bylo docela jednoduché a její práce také zjednodušená a že to mohlo být pohodlně sladěno s běžnou karteziánskou prací.
- Oliver Heaviside (1893)
Z těchto deseti [dalších] kapitol nebyly vyhozeny ani matice, ani čtveřice a obyčejné vektory. Neboť navzdory nesporné síle moderního tenzorového počtu tyto starší matematické jazyky podle mého názoru nadále nabízejí nápadné výhody v omezeném poli speciální relativity. Kromě toho je ve vědě i v každodenním životě cenné také ovládání více než jednoho jazyka, protože rozšiřuje naše názory, vede ke kritice ohledně a brání se před hypostázou [slabým základem] vyjádřené záležitosti slovy nebo matematickými symboly.
- Ludwik Silberstein (1924)
... zdá se, že čtveřice vyzařuje vzduch rozpadu devatenáctého století, jako poměrně neúspěšný druh v boji o život matematických myšlenek. Matematici, pravda, stále mají v srdci teplé místo díky pozoruhodným algebraickým vlastnostem čtveřic, ale takové nadšení bohužel pro tvrdohlavého fyzikálního vědce znamená málo.
- Simon L. Altmann (1986)
Viz také
- Převod mezi čtveřicemi a Eulerovými úhly
- Duální kvaternion
- Dvojkomplexní číslo
- Vnější algebra
- Hurwitzův kvaterniový řád
- Hyperbolický kvaternion
- Lénártova sféra
- Pauli matice
- Kvartérní matice
- Kvartérní polytop
- Kvartérní projektivní prostor
- Rotace ve 4-dimenzionálním euklidovském prostoru
- Slerp
- Rozdělený kvaternion
- Tesseract
Poznámky
Reference
Další čtení
Knihy a publikace
- Hamilton, William Rowan (1844). „O čtveřicích, nebo o novém systému imaginár v algebře“ . Filozofický časopis . 25 (3): 489–495. doi : 10,1080/14786444408645047 .*
- Hamilton, William Rowan (1853), „ Přednášky o čtveřicích “. Královská irská akademie.
- Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Editoval William Edwin Hamilton, syn zesnulého autora.
- Hamilton (1899) Elements of Quaternions svazek I, (1901) svazek II. Editoval Charles Jasper Joly ; publikoval Longmans, Green & Co. .
- Tait, Peter Guthrie (1873), „ Základní pojednání o čtveřicích “. 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
- Maxwell, James Clerk (1873), „ Pojednání o elektřině a magnetismu “. Clarendon Press, Oxford.
- Tait, Peter Guthrie (1886), „ „ Archivovaná kopie “ . Archivováno z originálu 8. srpna 2014. Citováno 26. června 2005 .CS1 maint: archivovaná kopie jako název ( odkaz ) CS1 maint: nevhodná URL ( odkaz )". MA Sec. RSE Encyclopædia Britannica , deváté vydání, 1886, sv. XX, s. 160–164. (Bzipovaný soubor PostScript )
- Joly, Charles Jasper (1905). Manuál čtveřic . Macmillan. LCCN 05036137 .
- Macfarlane, Alexander (1906). Vektorová analýza a čtveřice (4. vyd.). Wiley. LCCN 16000048 .
- Chisholm, Hugh, ed. (1911). Encyclopædia Britannica (11. vydání). Cambridge University Press.( Viz část o čtveřicích. ) .
- Finkelstein, David; Jauch, Josef M .; Schiminovich, Samuel; Speiser, David (1962). „Základy kvaternionové kvantové mechaniky“. J. Math. Fyz . 3 (2): 207–220. doi : 10,1063/1,1703794 .
- Du Val, Patrick (1964). Homografie, čtveřice a rotace . Oxfordské matematické monografie. Clarendon Press. LCCN 64056979 .
- Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System , University of Notre Dame Press. Zkoumá hlavní a vedlejší vektorové systémy 19. století (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
- Altmann, Simon L. (1989). „Hamilton, Rodrigues a skandál Quaternion“. Matematický časopis . 62 (5): 291–308. doi : 10,1080/0025570X.1989.11977459 .
- Adler, Stephen L. (1995). Kvartérní kvantová mechanika a kvantová pole . Mezinárodní série monografií o fyzice. 88 . Oxford University Press. ISBN 0-19-506643-X. LCCN 94006306 .
- Ward, JP (1997). Quaternions a Cayley Numbers: Algebra a aplikace . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-4513-4.
- Kantor, IL; Solodnikov, AS (1989). Hyperkomplexní čísla, základní úvod do algeber . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96980-2.
- Gürlebeck, Klaus; Sprössig, Wolfgang (1997). Kvartérní a cliffordský počet pro fyziky a inženýry . Matematické metody v praxi. 1 . Wiley. ISBN 0-471-96200-7. LCCN 98169958 .
- Kuipers, Jack (2002). Kvaterniony a rotační sekvence: Primer s aplikacemi na orbity, letectví a virtuální realitu . Princeton University Press . ISBN 0-691-10298-8.
- Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). O čtveřicích a oktonionech: jejich geometrie, aritmetika a symetrie . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9.( recenze ).
- Jack, PM (2003). "Fyzický prostor jako kvartérní struktura, I: Maxwellovy rovnice. Krátká poznámka". arXiv : math-ph/0307038 .
- Kravchenko, Vladislav (2003). Aplikovaná kvartérní analýza . Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-228-8.
- Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebry, prsteny a moduly . 1 . Springer. ISBN 1-4020-2690-0.
- Hanson, Andrew J. (2006). Vizualizace čtveřic . Elsevier. ISBN 0-12-088400-3.
- Binz, Ernst; Lusky, Sonja (2008). „1. Zkosené pole čtveřic“. Geometrie Heisenbergových skupin . Americká matematická společnost . ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Doran, Chris JL ; Lasenby, Anthony N. (2003). Geometrická algebra pro fyziky . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-48022-2.
- Vince, John A. (2008). Geometrická algebra pro počítačovou grafiku . Springer. ISBN 978-1-84628-996-5.
- Pro molekuly, které lze považovat za klasická tuhá tělesa, molekulární dynamika využívá počítačová simulace kvaternionů. Za tímto účelem je poprvé představil Evans, DJ (1977). „O zobrazení orientačního prostoru“. Mol. Fyz . 34 (2): 317–325. doi : 10,1080/00268977700101751 .
- Zhang, Fuzhen (1997). „Quaternions a matice Quaternions“ . Lineární algebra a její aplikace . 251 : 21–57. doi : 10,1016/0024-3795 (95) 00543-9 .
- Ron Goldman (2010). Přehodnocení Quaternions: Teorie a výpočet . Morgan & Claypool. ISBN 978-1-60845-420-4.
- Eves, Howard (1976), An Introduction to the History of Mathematics (4th ed.), New York: Holt, Rinehart and Winston , ISBN 0-03-089539-1
Odkazy a monografie
- „Quaternion Notices“ . Oznámení a materiály související s prezentacemi konference Quaternion
- "Quaternion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- „Často kladené otázky“ . Matrix a Quaternion . 1.21.
- Sweetser, Doug. „Dělat fyziku s čtveřicemi“ .
- Quaternions for Computer Graphics and Mechanics (Gernot Hoffman)
- Gsponer, Andre; Hurni, Jean-Pierre (2002). „Fyzické dědictví sira WR Hamiltona“. arXiv : math-ph/0201058 .
- Wilkins, DR „Hamiltonův výzkum kvaternionů“ .
- Grossman, David J. „Quaternion Julia Fractals“ .] 3D Raytraced Quaternion Julia Fractals
- „Quaternion Math and Conversions“ . Skvělá stránka vysvětlující základní matematiku s odkazy na přímé převody vzorců pro rotaci.
- Mathews, John H. „Bibliografie pro čtveřice“ . Archivovány od originálu na 2006-09-02.
- „Kvartérní síly“ . GameDev.net.
- Hanson, Andrew. „Vizualizace domovské stránky Quaternions“ . Archivovány od originálu na 2006-11-05.
- Karney, Charles FF (leden 2007). „Quaterniony v molekulárním modelování“. J. Mol. Graf. Mod . 25 (5): 595–604. arXiv : fyzika/0506177 . doi : 10,1016/j.jmgm.2006.04.002 . PMID 16777449 . S2CID 6690718 .
- Mebius, Johan E. (2005). „Maticový důkaz kvartérní reprezentační věty pro čtyřrozměrné rotace“. arXiv : matematika/0501249 .
- Mebius, Johan E. (2007). „Odvození vzorce Euler – Rodrigues pro trojrozměrné rotace z obecného vzorce pro čtyřrozměrné rotace“. arXiv : matematika/0701759 .
- „Hamiltonova procházka“ . Katedra matematiky, NUI Maynooth .
- „Použití Quaternionů k reprezentaci rotace“ . OpenGL: Návody . Archivovány od originálu na 2007-12-15.
- David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper.
- Martinez, Alberto. „Negativní matematika, jak lze pozitivně ohýbat matematická pravidla“ . Katedra historie, University of Texas. Archivovány od originálu dne 2011-09-24.
- Stahlke, D. „Quaternions in Classical Mechanics“ (PDF) .
- Morier-Genoud, Sophie; Ovsienko, Valentin (2008). „No, tati, umíš rozmnožit trojčata?“. arXiv : 0810.5562 [ matematický AC ].popisuje, jak lze z kvaternionů vytvořit šikmou komutativní algebru odstupňovanou podle Z /2 × Z /2 × Z /2 .
- Joyce, Helen (listopad 2004). „Zvědaví čtveřici“ . moderuje John Baez .
- Ibanez, Luisi. „Výukový program o čtveřicích. Část I“ (PDF) . Archivováno z originálu (PDF) dne 2012-02-04 . Citováno 2011-12-05 . Část II (PDF; pomocí Hamiltonovy terminologie, která se liší od moderního použití)
-
Ghiloni, R .; Moretti, V .; Perotti, A. (2013). „Funkční počet pro kontinuální řez v kvartérních Hilbertových prostorech“. Rev. Math. Fyz . 25 (4): 1350006–126. arXiv : 1207.0666 . Bibcode : 2013RvMaP..2550006G . doi : 10,1142/S0129055X13500062 . S2CID 119651315 .
Ghiloni, R .; Moretti, V .; Perotti, A. (2017). „Spektrální reprezentace normálních operátorů prostřednictvím hodnot propletených kvartérních projekcí“. Rev. Math. Fyz . 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . doi : 10,1142/S0129055X17500349 . dvě výkladové práce o spojitém funkčním počtu a spektrální teorii v kvanternionických Hilbertových prostorech užitečné v rigorózní kvartérní kvantové mechanice. - Quaternions Aplikace pro Android zobrazuje čtveřici odpovídající orientaci zařízení.
- Rotující objekty pomocí Quaternions článek hovořící o použití Quaternionů pro rotaci ve videohrách/počítačové grafice.
externí odkazy
- Média související s Quaternions na Wikimedia Commons
- Quaternions - Vizualizace