Trojrozměrný prostor - Three-dimensional space

Reprezentace trojrozměrného karteziánského souřadného systému s osou x směřující k pozorovateli.

Trojrozměrný prostor (také: 3D prostor , 3-prostor nebo zřídka trojrozměrný prostor ) je geometrické nastavení, ve kterém jsou k určení polohy prvku (tj. Bodu ) zapotřebí tři hodnoty (nazývané parametry ). Toto je neformální význam pojmu dimenze .

V matematiky , je sekvence z n čísel může být chápána jako umístění v n rozměrné prostoru. Když n = 3 , zavolá se sada všech takových umístěnítrojrozměrný euklidovský prostor (nebo jednoduše euklidovský prostor, když je kontext jasný). Běžně je reprezentován symbolem 3 . Toto slouží jako tříparametrový model fyzického vesmíru (tj. Prostorová část, bez ohledu na čas), ve kterém existuje veškerá známá hmota . Přestože tento prostor zůstává tím nejpřesvědčivějším a nejužitečnějším způsobem, jak modelovat svět tak, jak jej zažíváme, je to jen jeden příklad velké škály prostorů ve třech dimenzích, které se nazývají 3-potrubí . V tomto klasickém příkladu, když tři hodnoty odkazují na měření v různých směrech ( souřadnice ), lze zvolit libovolné tři směry za předpokladu, že vektory v těchto směrech neleží všechny ve stejném 2prostoru ( rovině ). Navíc v tomto případě mohou být tyto tři hodnoty označeny libovolnou kombinací tří vybraných z termínů šířka , výška , hloubka a délka .

V euklidovské geometrii

Souřadnicové systémy

V matematice analytická geometrie (také nazývaná kartézská geometrie) popisuje každý bod v trojrozměrném prostoru pomocí tří souřadnic. Jsou uvedeny tři souřadnicové osy , každá kolmá na další dvě v počátku , v bodě, ve kterém se kříží. Obvykle jsou označeny x , y a z . V poměru k těmto osám je poloha libovolného bodu v trojrozměrném prostoru dána uspořádanou trojicí reálných čísel , přičemž každé číslo udává vzdálenost tohoto bodu od počátku měřenou podél dané osy, která se rovná vzdálenosti této bod z roviny určené dalšími dvěma osami.

Mezi další oblíbené metody popisu umístění bodu v trojrozměrném prostoru patří cylindrické souřadnice a sférické souřadnice , ačkoli možných metod je nekonečně mnoho. Více viz Euklidovský prostor .

Níže jsou obrázky výše uvedených systémů.

Čáry a letadla

Dva různé body vždy určují (přímou) čáru . Tři různé body jsou buď kolineární, nebo určují jedinečnou rovinu. Na druhou stranu čtyři různé body mohou být buď kolineární, koplanární , nebo určují celý prostor.

Dvě odlišné čáry se mohou buď protnout, být rovnoběžné nebo zkosené . Dvě rovnoběžné čáry nebo dvě protínající se čáry leží v jedinečné rovině, takže šikmé čáry jsou čáry, které se nesetkávají a neleží ve společné rovině.

Dvě odlišné roviny se mohou buď setkat ve společné linii, nebo jsou rovnoběžné (tj. Nesplňují). Tři odlišné roviny, z nichž žádný pár není rovnoběžný, se mohou buď setkat ve společné linii, setkat se v jedinečném společném bodě, nebo nemají žádný společný bod. V posledním případě jsou tři průsečíky každé dvojice rovin vzájemně rovnoběžné.

Čára může ležet v dané rovině, protínat tuto rovinu v jedinečném bodě nebo být rovnoběžná s rovinou. V posledním případě budou v rovině čáry, které jsou rovnoběžné s danou přímkou.

Nadrovina je podprostor jeden rozměr menší než je rozměr plného prostoru. Hyperplanes trojrozměrného prostoru jsou dvourozměrné podprostory, tj. Roviny. Pokud jde o karteziánské souřadnice, body hyperplany splňují jedinou lineární rovnici , takže roviny v tomto 3-prostoru jsou popsány lineárními rovnicemi. Přímku lze popsat dvojicí nezávislých lineárních rovnic - každá představuje rovinu s touto přímkou ​​jako společným průsečíkem.

Varignonova věta uvádí, že středy jakéhokoli čtyřúhelníku v ℝ 3 tvoří rovnoběžník , a proto jsou koplanární.

Koule a koule

Perspektivní projekce koule na dvou rozměrech

Koule v 3-prostor (také nazývána 2-koule , protože se jedná o 2-dimenzionální objekt) se skládá z množiny všech bodů v 3-prostor v pevné vzdálenosti r od centrálního bodu P . Těleso uzavřené koulí se nazývá koule (nebo přesněji 3 koule ). Objem koule je dán vztahem

.

Další typ koule pochází ze 4 koule, jejíž trojrozměrný povrch je 3 koule : body ve stejné vzdálenosti od počátku euklidovského prostoru 4 . Pokud má bod souřadnice P ( x , y , z , w ) , pak x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 charakterizuje tyto body na jednotkové 3 kouli se středem na počátku.

Polytopes

Ve třech rozměrech je devět pravidelných polytopů: pět konvexních platonických těles a čtyři nekonvexní mnohostěn Kepler-Poinsot .

Pravidelné polytopy ve třech rozměrech
Třída Platonické pevné látky Kepler-Poinsotův mnohostěn
Symetrie T d O h h
Coxeterova skupina A 3 , [3,3] B 3 , [4,3] H 3 , [5,3]
Objednat 24 48 120
Pravidelný
mnohostěn
Tetrahedron.svg
{3,3}
Hexahedron.svg
{4,3}
Octahedron.svg
{3,4}
Dodecahedron.svg
{5,3}
Icosahedron.svg
{3,5}
SmallStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,5}
GreatDodecahedron.jpg
{5,5/2}
GreatStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,3}
GreatIcosahedron.jpg
{3,5/2}

Revoluční povrchy

Povrch generované otáčením letadlo křivky o pevnou linku v jeho rovině jako osa se nazývá rotační plochu . Rovinná křivka se nazývá generatrix povrchu. Část povrchu, vytvořená protínáním povrchu s rovinou, která je kolmá (kolmá) na osu, je kruh.

K jednoduchým příkladům dochází, když je generatrix čára. Pokud čára generatrix protíná osu, je povrchem otáčení pravý kruhový kužel s vrcholem (vrcholem) průsečíkem. Pokud jsou však generatrix a osa rovnoběžné, pak je povrchem otáčení kruhový válec .

Kvadrické povrchy

Analogicky s kuželosečkami je množina bodů, jejichž karteziánské souřadnice splňují obecnou rovnici druhého stupně, tj.

kde A , B , C , F , G , H , J , K , L a M jsou reálná čísla a ne všechna A , B , C , F , G a H jsou nulová, se nazývá kvadrický povrch .

Existuje šest typů nedegenerovaných kvadrických povrchů:

  1. Elipsoid
  2. Hyperboloid jednoho listu
  3. Hyperboloid dvou listů
  4. Eliptický kužel
  5. Eliptický paraboloid
  6. Hyperbolický paraboloid

Degenerované kvadrické plochy jsou prázdná množina, jeden bod, jedna přímka, jedna rovina, dvojice rovin nebo kvadratický válec (plocha skládající se z nedegenerovaného kuželosečky v rovině π a všech přímek 3 prostřednictvím toho kužele, které jsou normální k π ). Eliptické kužely jsou někdy také považovány za degenerované kvadrické povrchy.

Jak hyperboloid jednoho listu, tak hyperbolický paraboloid jsou řízené povrchy , což znamená, že mohou být tvořeny rodinou přímých linií. Ve skutečnosti má každá dvě rodiny generujících linií, členové každé rodiny jsou disjunktní a každý člen jedné rodiny protíná, s jedinou výjimkou, každý člen druhé rodiny. Každá rodina se nazývá regulus .

V lineární algebře

Další způsob zobrazení trojrozměrného prostoru se nachází v lineární algebře , kde je myšlenka nezávislosti klíčová. Prostor má tři rozměry, protože délka pole je nezávislá na jeho šířce nebo šířce. V technickém jazyce lineární algebry je prostor trojrozměrný, protože každý bod v prostoru lze popsat lineární kombinací tří nezávislých vektorů .

Tečkovaný produkt, úhel a délka

Vektor lze zobrazit jako šipku. Velikost vektoru je jeho délka a jeho směr je směr, kterým ukazuje šipka. Vektor v 3 může být reprezentován uspořádanou trojicí reálných čísel. Tato čísla se nazývají součásti vektoru.

Tečkový součin dvou vektorů A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] a B = [ B 1 , B 2 , B 3 ] je definován jako:

Velikost vektoru A je označena || A || . Tečkový součin vektoru A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] sám o sobě je

který dává

vzorec pro euklidovskou délku vektoru.

Bez odkazu na složky vektorů je bodový součin dvou nenulových euklidovských vektorů A a B dán vztahem

kde θ je úhel mezi A a B .

Křížový produkt

Produkt kříže nebo vektorový součin je binární operace na dvou vektorů v trojrozměrném prostoru a je označen symbolem x. Křížový součin a × b vektorů a a b je vektor, který je kolmý na oba a je tedy kolmý na rovinu, která je obsahuje. Má mnoho aplikací v matematice, fyzice a strojírenství .

Prostor a součin tvoří algebru nad polem , které není ani komutativní ani asociativní , ale je Lieovou algebrou, přičemž křížovým součinem je závorka Lži.

Jedna plechovka v n rozměrech vezme součin n - 1 vektorů a vytvoří vektor kolmý na všechny z nich. Pokud je ale produkt omezen na netriviální binární produkty s vektorovými výsledky, existuje pouze ve třech a sedmi dimenzích .

Křížový produkt ve vztahu k souřadnicovému systému pro praváky

V počtu

Přechod, divergence a zvlnění

V pravoúhlém souřadnicovém systému je přechod dán vztahem

Divergence spojitě diferencovatelného vektorového pole F = U i + V j + W k je stejná jako skalární funkce:

Rozšířeno v kartézských souřadnicích (viz Del ve válcových a sférických souřadnicích pro reprezentace sférických a válcových souřadnic), zvlnění ∇ × F je pro F složené z [ F x , F y , F z ]:

kde i , j a k jsou jednotkové vektory pro x -, y -, a z -osy. Toto se rozšiřuje následovně:

Lineární integrály, povrchové integrály a objemové integrály

Pro některé skalární pole f  : UR nR je přímka integrální podél kusové hladké křivky CU definována jako

kde r : [a, b] → C je libovolná bijektivní parametrizace křivky C tak, že r ( a ) a r ( b ) dávají koncové body C a .

Pro vektorové pole F  : UR nR n je přímka integrální podél kusové hladké křivky CU , ve směru r , definována jako

kde · je skalární součin a R : [a, b] → C je bijective parametrizace křivky C, tak, že r ( ) a R ( b ), čímž se získá koncové body C .

Plošný integrál je zobecněním více integrálů k integraci přes povrchy . Lze jej považovat za dvojitý integrální analog liniového integrálu . Abychom našli explicitní vzorec pro povrchový integrál, potřebujeme parametrizovat zájmový povrch S uvažováním systému křivočarých souřadnic na S , jako je zeměpisná šířka a délka na kouli . Nechť je taková parametrizace x ( s , t ), kde ( s , t ) se mění v nějaké oblasti T v rovině . Potom je integrál povrchu dán vztahem

kde výraz mezi pruhy na pravé straně je velikost o součin z parciálních derivací na x ( y , t ), a je známý jako povrch prvku . Vzhledem k vektorovému poli v na S , to je funkce, která přiřadí každému x v S vektor v ( x ), může být povrchový integrál definován komponentně podle definice povrchového integrálu skalárního pole; výsledkem je vektor.

Objem integrální se týká integrálu přes 3- rozměrovou doménu.

To může také znamenat trojný integrál uvnitř oblasti D v R 3 části funkce a je obvykle psáno jako:

Základní věta liniových integrálů

Základní teorém linie integrálu , říká, že křivkový integrál přes gradientu pole může být hodnocena pomocí vyhodnocení původní skalární pole v koncových bodech křivky.

Nech . Pak

Stokesova věta

Stokesova věta se vztahuje na plošný integrál na zvlnění jednoho vektorového pole F přes povrchovou å v euklidovské tři prostor k vedení integrálu vektorového pole přes jeho hranice ∂Σ:

Divergenční věta

Předpokládejme, že V je podmnožina (v případě n = 3, V představuje objem v 3D prostoru), která je kompaktní a má po částech hladkou hranici S (označenou také V = S ). Pokud F je spojitě diferencovatelné vektorové pole definované na sousedství V , pak divergenční věta říká:

\ oiint

Na levé straně je objem integrální přes objem V , pravá strana je povrch integrál přes hraniční linii objemu V . Uzavřený potrubí V je zcela obecně hranice V orientovány směrem ven obrácenými normál , a n je vnější polohovací jednotka normální pole ohraničující V . ( d S lze použít jako zkratku pro n dS .)

V topologii

Logo zeměkoule Wikipedie ve 3D

Trojrozměrný prostor má řadu topologických vlastností, které jej odlišují od prostorů jiných čísel dimenzí. Například pro svazování uzlu v kousku provázku jsou nutné alespoň tři rozměry .

V diferenciální geometrii jsou obecné trojrozměrné prostory 3-varietami , které se místně podobají .

V konečné geometrii

Mnoho představ o dimenzi lze vyzkoušet s konečnou geometrií . Nejjednodušší instancí je PG (3,2) , který má jako 2-dimenzionální podprostory roviny Fano . Je to příklad Galoisovy geometrie , studie projektivní geometrie pomocí konečných polí . Pro každé Galoisovo pole GF ( q ) tedy existuje projektivní prostor PG (3, q ) tří dimenzí. Například jakékoli tři šikmé čáry v PG (3, q ) jsou obsaženy přesně v jednom regulus .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy