Návrh mechanismu - Mechanism design

Výše uvedený diagram Stanleyho Reitera ilustruje hru návrhu mechanismu. Levý horní prostor zobrazuje typový prostor a pravý horní prostor X prostor výsledků. Sociální Volba funkce mapuje typ profilu na výsledku. V hrách o design mechanismu agenti odesílají zprávy v herním prostředí . Rovnováhu ve hře lze navrhnout tak, aby implementovala nějakou funkci sociální volby .${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle f (\ theta)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ xi (M, g, \ theta)}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

Návrh mechanismu je obor v ekonomii a teorii her, který zaujímá první cíl při navrhování ekonomických mechanismů nebo pobídek směrem k požadovaným cílům ve strategickém prostředí , kde hráči jednají racionálně . Protože to začíná na konci hry, pak jde zpět, nazývá se to také teorie reverzní hry . Má široké uplatnění, od ekonomiky a politiky v oblastech, jako je návrh trhu , teorie aukcí a teorie sociální volby, až po síťové systémy (směrování interdomény po internetu, aukce sponzorovaného vyhledávání).

Konstrukční studie mechanismu navrhují koncepty řešení pro třídu soukromých informačních her. Leonid Hurwicz vysvětluje, že „v konstrukčním problému je hlavní„ zadanou “cílová funkce, zatímco mechanismus je neznámý. Konstrukčním problémem je tedy „inverze“ tradiční ekonomické teorie, která se obvykle věnuje analýze výkonnosti daného mechanismu. “ Dvě charakteristické vlastnosti těchto her jsou tedy:

• že herní „návrhář“ volí herní strukturu místo toho, aby ji zdědil
• že návrháře zajímá výsledek hry

Nobelova cena za ekonomické vědy za rok 2007 byla udělena Leonidovi Hurwiczovi , Ericovi Maskinovi a Rogerovi Myersonovi „za to, že položil základy teorie konstrukce mechanismů“.

Intuice

V zajímavé třídě Bayesianských her by jeden hráč, zvaný „hlavní“, chtěl podmínit své chování informacemi, které jsou soukromě známy ostatním hráčům. Ředitel by například chtěl vědět, jaká je skutečná kvalita ojetého vozu, který prodavač prodává. Nemůže se nic naučit jednoduše tím, že se zeptá prodavače, protože je v zájmu prodavače zkreslit pravdu. V konstrukci mechanismu však hlavní má jednu výhodu: Může navrhnout hru, jejíž pravidla mohou ovlivnit ostatní, aby jednali tak, jak by chtěl.

Bez teorie návrhu mechanismu by bylo problém ředitele obtížné vyřešit. Bude muset zvážit všechny možné hry a zvolit tu, která nejlépe ovlivňuje taktiku ostatních hráčů. Ředitel by navíc musel vyvodit závěry od agentů, kteří by mu mohli lhát. Díky konstrukci mechanismu, a zejména principu zjevení , stačí, aby ředitel zvážil pouze hry, ve kterých agenti pravdivě hlásí své soukromé informace.

Nadace

Mechanismus

Hra návrhu mechanismu je hra soukromých informací, ve které si jeden z agentů, nazývaný hlavní, vybere strukturu výplat. Po Harsanyi  ( 1967 ) dostávají agenti od přírody tajné „zprávy“ obsahující informace týkající se výplat. Zpráva může například obsahovat informace o jejich preferencích nebo kvalitě zboží k prodeji. Tuto informaci nazýváme agentův „typ“ (obvykle známý a podle toho prostor typů ). Agenti poté nahlásí hlavnímu typu (obvykle označený kloboukem ), který může být strategickou lží. Po sestavě se jistina a agenti vyplácejí podle struktury výplat, kterou si jistina vybrala. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

Načasování hry je:

1. Principál se zavazuje k mechanismu, který uděluje výsledek jako funkci hlášeného typu${\ displaystyle y ()}$${\ displaystyle y}$
2. Agenti hlásí, možná nečestně, typový profil ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$
3. Mechanismus je spuštěn (agenti obdrží výsledek )${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}})}$

Abychom pochopili, kdo co získá, je běžné rozdělit výsledek na alokaci zboží a převod peněz, kde znamená alokaci zboží poskytovaného nebo přijímaného jako funkce typu a znamená peněžní převod jako funkci typ. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y (\ theta) = \ {x (\ theta), t (\ theta) \}, \ x \ v X, t \ v T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

Jako měřítko návrhář často definuje, co by se stalo za úplných informací. Definovat a funkce sociální volby mapující profil (skutečného) typu přímo na alokaci přijatého nebo poskytnutého zboží, ${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle f (\ theta): \ Theta \ rightarrow X}$

Naproti tomu mechanismus mapuje nahlášený typový profil k výsledku (opět alokace zboží a převod peněz ) ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}}): \ Theta \ rightarrow Y}$

Princip odhalení

Navrhovaný mechanismus představuje Bayesianskou hru (hru soukromých informací), a pokud je dobře vychovaná, hra má rovnováhu Bayesian Nash . V rovnováze agenti volí své zprávy strategicky jako funkci typu

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta)}$

V takovém prostředí je obtížné vyřešit Bayesiánskou rovnováhu, protože zahrnuje řešení strategií nejlepší reakce agentů a co nejlepší odvození z možné strategické lži. Díky rozsáhlému výsledku, který se nazývá princip odhalení, může designér bez ohledu na mechanismus omezit pozornost na rovnováhy, ve kterých agenti pravdivě hlásí typ. Princip odhalení uvádí: „Každé rovnováze Bayesian Nash odpovídá hra Bayesianů se stejným výsledkem rovnováhy, ale ve kterém hráči pravdivě hlásí typ.“

To je nesmírně užitečné. Tento princip umožňuje vyřešit bayesiánskou rovnováhu za předpokladu, že všichni hráči pravdivě ohlásí typ (s výhradou omezení kompatibility pobídek ). Jedním úderem eliminuje potřebu uvažovat buď o strategickém chování, nebo o lhaní.

Jeho důkaz je zcela přímý. Předpokládejme, že Bayesian hra, ve které strategie a návratnost agenta jsou funkce svého druhu a to, co jiní dělají, . Podle definice činidla i‘ s rovnovážnou strategií je Nash v očekávané nástroje: ${\ displaystyle u_ {i} \ left (s_ {i} (\ theta _ {i}), s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {i} \ right)}$${\ displaystyle s (\ theta _ {i})}$

${\ displaystyle s_ {i} (\ theta _ {i}) \ v \ arg \ max _ {s '_ {i} \ v S_ {i}} \ součet _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (s '_ {i}, s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {i} \ vpravo)}$

Jednoduše definujte mechanismus, který by přiměl agenty zvolit stejnou rovnováhu. Nejjednodušší je definovat mechanismus, který se zaváže hrát pro ně rovnovážné strategie agentů .

${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}}): \ Theta \ rightarrow S (\ Theta) \ rightarrow Y}$

Podle takového mechanismu agenti samozřejmě považují za optimální odhalit typ, protože mechanismus hraje strategie, které stejně našli optimální. Formálně si vyberte takové ${\ displaystyle y (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ theta _ {i} \ in {} & \ arg \ max _ {\ theta '_ {i} \ in \ Theta} \ sum _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (y (\ theta '_ {i}, \ theta _ {- i}), \ theta _ { i} \ right) \\ [5pt] & = \ sum _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (s_ {i} (\ theta), s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {i} \ right) \ end {zarovnáno}}}$

Proveditelnost

Návrhář mechanismu obecně doufá buď

• navrhnout mechanismus, který „implementuje“ funkci sociální volby${\ displaystyle y ()}$
• najít mechanismus, který maximalizuje určité hodnotové kritérium (např. zisk)${\ displaystyle y ()}$

Chcete-li implementovat funkci společenskou volbou je najít nějakou přenosovou funkci, která motivuje agenti k vyzvednutí . Formálně, pokud se profil rovnovážné strategie v rámci mechanismu mapuje na stejnou alokaci zboží jako funkce sociální volby, ${\ displaystyle f (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle f (\ theta) = x \ left ({\ hat {\ theta}} (\ theta) \ right)}$

říkáme, že mechanismus implementuje funkci sociální volby.

Díky principu zjevení může designér obvykle najít přenosovou funkci k implementaci sociální volby řešením přidružené hry na vypravování pravd. Pokud agenti považují za optimální pravdivě nahlásit typ, ${\ displaystyle t (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta) = \ theta}$

říkáme, že takový mechanismus je skutečně implementovatelný (nebo jen „implementovatelný“). Úkolem je pak vyřešit pravdivě realizovatelnou a přičítat tuto přenosovou funkci do původní hry. Alokace je pravdivě implementovatelné pokud existuje přenosovou funkci takovou, že ${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$

${\ displaystyle u (x (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq u (x ({\ hat {\ theta}}), t ({\ hat {\ theta}}), \ theta ) \ \ forall \ theta, {\ hat {\ theta}} \ in \ Theta}$

což se také nazývá omezení motivační kompatibility (IC).

V aplikacích je podmínka IC klíčem k popisu tvaru jakýmkoli užitečným způsobem. Za určitých podmínek může dokonce analyticky izolovat přenosovou funkci. Navíc je někdy přidáno omezení účasti ( individuální racionality ), pokud mají agenti možnost nehrát. ${\ displaystyle t (\ theta)}$

Nutnost

Zvažte nastavení, ve kterém mají všichni agenti funkci obsluhy závislou na typu . Zvažte také alokaci zboží, která má vektorovou hodnotu a velikost (což umožňuje počet zboží), a předpokládejte, že je po částech spojitá s ohledem na její argumenty. ${\ displaystyle u (x, t, \ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Funkce je implementovatelná, pouze pokud ${\ displaystyle x (\ theta)}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u / \ částečné x_ {k}} {\ vlevo | \ částečné u / \ částečné t \ pravé |}} \ pravé) {\ frac {\ částečné x} {\ částečné \ theta}} \ geq 0}$

kdykoli a a x je spojité v . Toto je nezbytná podmínka a je odvozena z podmínek prvního a druhého řádu optimalizačního problému agenta za předpokladu, že bude říkat pravdu. ${\ displaystyle x = x (\ theta)}$${\ displaystyle t = t (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$

Jeho význam lze pochopit ve dvou částech. První část říká, že agentova marginální míra substituce (MRS) se zvyšuje v závislosti na typu,

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u / \ částečné x_ {k}} {\ vlevo | \ částečné u / \ částečné t \ pravé |} } \ right) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ mathrm {MRS} _ {x, t}}$

Stručně řečeno, agenti neřeknou pravdu, pokud mechanismus nenabízí vyšším typům agentů lepší nabídku. V opačném případě budou vyšší typy, které čelí jakémukoli mechanismu, který trestá vysoké typy za hlášení, lhát a deklarovat, že jsou nižší typy, což porušuje omezení IC týkající se pravdivosti. Druhá část je podmínkou monotónnosti, která čeká na to,

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné x} {\ částečné \ theta}}}$

což, aby bylo pozitivní, znamená, že vyšší typy musí dostat více dobrého.

Existuje potenciál pro interakci dvou částí. Pokud u některých typů sortimentů smlouva nabídla menší množství vyšším typům , je možné, že by mechanismus mohl kompenzovat poskytnutím slev vyššímu typu. Ale pro agenty nízkého typu již taková smlouva existuje, takže toto řešení je patologické. K takovému řešení někdy dochází v procesu řešení mechanismu. V těchto případech musí být „ vyžehlené “. V prostředí s dobrým zbožím je také možné, aby designér odměnil agenta více z jednoho dobrého, aby nahradil méně z jiného (např. Máslo za margarín ). Mechanismy více dobrého jsou pokračujícím problémem v teorii návrhu mechanismů. ${\ displaystyle \ částečné x / \ částečné \ theta <0}$

Dostatečnost

Dokumenty o návrhu mechanismu obvykle zajišťují dva předpoklady k zajištění implementovatelnosti:

1. ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} {\ frac {\ částečné u / \ částečné x_ {k}} {\ vlevo | \ částečné u / \ částečné t \ pravé |}}> 0 \ \ celkem k}$

Toto je známé pod několika jmény: podmínka jednoho křížení, podmínka třídění a podmínka Spence – Mirrlees. To znamená, že obslužná funkce má takový tvar, že typ MRS agenta narůstá.

2. ${\ displaystyle \ existuje K_ {0}, K_ {1} {\ text {takový, že}} \ vlevo | {\ frac {\ částečné u / \ částečné x_ {k}} {\ částečné u / \ částečné t}} \ right | \ leq K_ {0} + K_ {1} | t |}$

Jedná se o technický stav ohraničující rychlost růstu MRS.

Tyto předpoklady jsou dostatečné k tomu, aby bylo zajištěno, že libovolná monotónnost je implementovatelná ( existuje, která ji může implementovat). Navíc v nastavení jediného dobrého je podmínka jednoduchého křížení dostatečná k zajištění toho, že je implementovatelná pouze monotónnost , takže návrhář může omezit své hledání na monotónní . ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Zvýrazněné výsledky

Věta o ekvivalenci příjmů

Vickrey  ( 1961 ) dává slavný výsledek, že kterýkoli člen velké třídy aukcí zajišťuje prodejci stejné očekávané příjmy a že očekávané příjmy jsou tím nejlepším, co může prodejce udělat. To je případ, pokud

1. Kupující mají identické oceňovací funkce (což může být funkce typu)
2. Typy kupujících jsou nezávisle distribuovány
3. Typy kupujících jsou čerpány z průběžné distribuce
4. Distribuce typu nese vlastnost monotónní míry rizika
5. Tento mechanismus prodává zboží kupujícímu s nejvyšším oceněním

Poslední podmínka je pro teorém zásadní. Z toho vyplývá, že aby prodejce dosáhl vyšších výnosů, musí mít šanci dát předmět agentovi s nižším oceněním. Obvykle to znamená, že musí riskovat, že předmět vůbec neprodá.

Mechanismy Vickrey – Clarke – Groves

Aukční model Vickrey (1961) byl později rozšířen Clarkem  ( 1971 ) a Grovesem o řešení problému veřejné volby, při kterém náklady na veřejný projekt nesou všichni agenti, např. Zda postavit obecní most. Výsledný mechanismus „Vickrey – Clarke – Groves“ může motivovat agenty, aby zvolili sociálně efektivní alokaci veřejného statku, i když agenti mají soukromě známá ocenění. Jinými slovy, může vyřešit „ tragédii ve sněmovně “ - za určitých podmínek, zejména kvazilineární užitečnost nebo není-li požadována rovnováha rozpočtu.

Zvažte nastavení, ve kterém má počet agentů kvazilineární užitečnost se soukromým oceněním, kde je měna oceňována lineárně. Návrhář VCG navrhuje motivační kompatibilní (tedy pravdivě implementovatelný) mechanismus pro získání profilu skutečného typu, ze kterého návrhář implementuje sociálně optimální alokaci ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle v (x, t, \ theta)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle x_ {I} ^ {*} (\ theta) \ v {\ podmnožině {x \ v X} {\ operatorname {argmax}}} \ sum _ {i \ v I} v (x, \ theta _ {i})}$

Chytrost mechanismu VCG je způsob, jakým motivuje pravdivé odhalení. Eliminuje pobídky k chybným hlášením penalizací jakéhokoli agenta náklady na zkreslení, které způsobí. Mezi zprávami, které může agent učinit, mechanismus VCG umožňuje „nulovou“ zprávu, která říká, že je lhostejný k veřejnému blahu a záleží mu pouze na převodu peněz. To efektivně odstraní agenta ze hry. Pokud se agent rozhodne nahlásit typ, mechanismus VCG účtuje agentovi poplatek, pokud je jeho sestava klíčová , tj. Pokud jeho sestava změní optimální alokaci x tak, aby poškodila ostatní agenty. Platba se počítá

${\ displaystyle t_ {i} ({\ hat {\ theta}}) = \ součet _ {j \ v Ii} v_ {j} (x_ {Ii} ^ {*} (\ theta _ {Ii}), \ theta _ {j}) - \ sum _ {j \ in Ii} v_ {j} (x_ {I} ^ {*} ({\ hat {\ theta}} _ {i}, \ theta _ {I}) , \ theta _ {j})}$

který shrnuje zkreslení v nástrojích ostatních agentů (a ne jeho vlastních) způsobené hlášením jednoho agenta.

Gibbard – Satterthwaiteova věta

Gibbard  ( 1973 ) a Satterthwaite  ( 1975 ) dávají výsledek nemožnosti podobný v duchu Arrowovy věty o nemožnosti . U velmi obecné třídy her lze implementovat pouze „diktátorské“ funkce sociálního výběru.

Funkce sociální volby f () je diktátorská, pokud jeden agent vždy obdrží přidělení nejoblíbenějšího zboží,

${\ displaystyle {\ text {pro}} f (\ Theta) {\ text {,}} \ existuje i \ v I {\ text {takový, že}} u_ {i} (x, \ theta _ {i}) \ geq u_ {i} (x ', \ theta _ {i}) \ \ všech x' \ v X}$

Věta uvádí, že za všeobecných podmínek musí být každá pravdivě realizovatelná funkce sociální volby diktátorská, pokud:

1. X je konečné a obsahuje alespoň tři prvky
2. Předvolby jsou racionální
3. ${\ displaystyle f (\ Theta) = X}$

Věta Myerson – Satterthwaite

Myerson a Satterthwaite ( 1983 ) ukazují, že neexistuje efektivní způsob, jak by dvě strany mohly obchodovat se zbožím, pokud by pro něj každá měla tajná a pravděpodobnostně různá ocenění, aniž by hrozilo nutení jedné strany obchodovat se ztrátou. Je to jeden z nejpozoruhodnějších negativních výsledků v ekonomii - jakési negativní zrcadlo základních teorémů sociální ekonomiky .

Příklady

Cenová diskriminace

Mirrlees  ( 1971 ) zavádí nastavení, ve kterém lze snadno vyřešit přenosovou funkci t (). Vzhledem ke své relevanci a použitelnosti je v literatuře běžným prostředím. Zvažte nastavení jednoho dobrého, jednoho agenta, ve kterém má agent kvazilineární nástroj s neznámým parametrem typu${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle u (x, t, \ theta) = V (x, \ theta) -t}$

a ve kterém má hlavní osoba předchozí CDF nad typem agenta . Principál může vyrábět zboží za konvexní mezní cenu c ( x ) a chce maximalizovat očekávaný zisk z transakce ${\ displaystyle P (\ theta)}$

${\ displaystyle \ max _ {x (\ theta), t (\ theta)} \ mathbb {E} _ {\ theta} \ doleva [t (\ theta) -c \ doleva (x (\ theta) \ doprava) \že jo]}$

podléhá podmínkám IC a IR

${\ Displaystyle u (X (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq u (x (\ theta '), t (\ theta'), \ theta) \ \ forall \ theta, \ theta ' }$

${\ Displaystyle u (X (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq {\ podtržení {u}} (\ theta) \ \ forall \ theta}$

Principálem je zde monopolista, který se snaží nastavit cenové schéma maximalizující zisk, ve kterém nedokáže identifikovat typ zákazníka. Běžným příkladem je letecká společnost, která stanoví ceny letenek pro obchodní cestující, turisty a studenty. Vzhledem k podmínkám infračerveného záření musí každému typu poskytnout dostatečně dobré řešení, aby vyvolalo účast. Vzhledem k podmínce IC musí dát každému typu dost dobré řešení, aby typ preferoval své řešení před jakýmkoli jiným.

Trik zadaný Mirrleesem (1971) spočívá v použití věty o obálce k odstranění funkce přenosu z očekávání, že bude maximalizováno,

${\ displaystyle {\ text {let}} U (\ theta) = \ max _ {\ theta '} u \ left (x (\ theta'), t (\ theta '), \ theta \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {dU} {d \ theta}} = {\ frac {\ částečné u} {\ částečné \ theta}} = {\ frac {\ částečné V} {\ částečné \ theta}}}$

Integrace,

${\ displaystyle U (\ theta) = {\ podtržení {u}} (\ theta _ {0}) + \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} {\ frac {\ částečné V} { \ částečná {\ tilde {\ theta}}}} d {\ tilde {\ theta}}}$

kde je nějaký typ indexu. Nahrazení motivačního kompatibilní v maximand, ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$${\ displaystyle t (\ theta) = V (x (\ theta), \ theta) -U (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ mathbb {E} _ {\ theta} \ left [V (x (\ theta), \ theta) - {\ underline {u}} (\ theta _ {0}) - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} {\ frac {\ částečné V} {\ částečné {\ tilde {\ theta}}}} d {\ tilde {\ theta}} - c \ left (x (\ theta) \ right) \ right] \\ & {} = \ mathbb {E} _ {\ theta} \ left [V (x (\ theta), \ theta) - {\ underline {u} } (\ theta _ {0}) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ částečné V} {\ částečné \ theta}} - c \ vlevo ( x (\ theta) \ right) \ right] \ end {zarovnáno}}}$

po integraci po částech. Tuto funkci lze maximalizovat bodově.

Protože je již kompatibilní s pobídkami, návrhář může zrušit omezení IC. Pokud obslužná funkce splňuje podmínku Spence – Mirrlees, existuje monotónní funkce. Omezení IR lze zkontrolovat v rovnováze a odpovídajícím způsobem zvýšit nebo snížit tarif poplatků. Dále si všimněte přítomnosti míry rizika ve výrazu. Pokud distribuce typu nese vlastnost poměru monotónních rizik, stačí FOC k řešení pro t (). Pokud ne, pak je nutné zkontrolovat, zda je všude podél alokačních a poplatkových plánů splněno omezení monotónnosti (viz dostatečnost výše). Pokud ne, musí návrhář použít žehlení Myerson. ${\ displaystyle U (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Myerson žehlení

Je možné řešit harmonogram zboží nebo cen, který splňuje podmínky prvního řádu, ale není monotónní. Pokud je to tak, je nutné plán „vyžehlit“ výběrem nějaké hodnoty, při které bude funkce sloučena.

V některých aplikacích může návrhář vyřešit podmínky prvního řádu pro cenové a alokační plány, ale zjistí, že nejsou monotónní. Například v kvazilineárním nastavení k tomu často dochází, když poměr rizik sám o sobě není monotónní. Podle podmínky Spence – Mirrlees musí být optimální cenové a alokační plány monotónní, takže návrhář musí vyloučit jakýkoli interval, během kterého plán změní směr tím, že jej zploští.

Intuitivně to, co se děje, je, že návrhář považuje za optimální seskupit určité typy dohromady a dát jim stejnou smlouvu. Návrhář obvykle motivuje vyšší typy, aby se odlišily tím, že jim dá lepší nabídku. Pokud je na okraji nedostatečně málo vyšších typů, návrhář nepovažuje za užitečné udělit koncesi pro nižší typy (nazývané jejich informační renta ), aby bylo možné účtovat vyšším typům typově specifickou smlouvu.

Zvažte monopolní jistinu prodávající agentům s kvazilineární užitečností, příklad výše. Předpokládejme, že rozvrh alokace splňující podmínky prvního řádu má jediný vnitřní vrchol v a jeden vnitřní koryto v , znázorněné vpravo. ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}> \ theta _ {1}}$

• Následující Myerson (1981) to vyrovnal výběrem uspokojení${\ displaystyle x}$
  $${\ displaystyle \ int _ {\ phi _ {2} (x)} ^ {\ phi _ {1} (x)} \ vlevo ({\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné \ theta \, \ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ částečné c} {\ částečné x}} (x) \ pravé) d \ theta = 0}$$

  
  kde je inverzní funkce x mapování na a je inverzní funkce x mapování na . To znamená, že vrátí a před vnitřním vrcholem a vrátí a po vnitřním žlabu.${\ displaystyle \ phi _ {1} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ leq \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ phi _ {2} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ geq \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$
• Pokud nemonotonická oblast ohraničuje okraj typového prostoru, jednoduše nastavte příslušnou funkci (nebo obě) na typ hranice. Pokud existuje více oblastí, přečtěte si v učebnici iterativní postup; může se stát, že by mělo být žehleno více než jeden žlab.${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

Důkaz

Důkaz využívá teorii optimálního řízení. Zvažuje soubor intervalů v nemonotonické oblasti, nad nimiž by mohl zploštit plán. Potom zapíše hamiltonián, aby získal potřebné podmínky pro interval v intervalech ${\ displaystyle \ left [{\ underline {\ theta}}, {\ overline {\ theta}} \ right]}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

1. který uspokojuje monotónnost
2. pro které není omezení monotónnosti závazné na hranicích intervalu

Podmínka dva zajišťuje, že uspokojivý optimální kontrolní problém se znovu připojí k plánu v původním problému na hranicích intervalů (žádné skoky). Jakékoli splnění nezbytných podmínek musí být ploché, protože musí být monotónní a přesto se znovu připojit na hranici. ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Stejně jako dříve maximalizujte očekávanou výplatu jistiny, ale tentokrát s výhradou monotónního omezení

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné x} {\ částečné \ theta}} \ geq 0}$

a použijte k tomu hamiltonián, se stínovou cenou ${\ displaystyle \ nu (\ theta)}$

${\ displaystyle H = \ left (V (x, \ theta) - {\ underline {u}} (\ theta _ {0}) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta) }} {\ frac {\ částečné V} {\ částečné \ theta}} (x, \ theta) -c (x) \ pravé) p (\ theta) + \ nu (\ theta) {\ frac {\ částečné x } {\ částečná \ theta}}}$

kde je stavová proměnná a ovládací prvek. Jako obvykle při optimální kontrole musí rovnice nákladného vývoje vyhovovat ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ částečné x / \ částečné \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ nu} {\ částečné \ theta}} = - {\ frac {\ částečné H} {\ částečné x}} = - \ vlevo ({\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné \ theta \, \ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ částečné c} {\ částečné x}} (x) \ pravé) p (\ theta)}$

S využitím podmínky 2 si všimněte, že omezení monotónnosti není na hranici intervalu závazné , ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ nu ({\ underline {\ theta}}) = \ nu ({\ overline {\ theta}}) = 0}$

což znamená, že podmínku nákladné proměnné lze integrovat a také se rovná 0

${\ displaystyle \ int _ {\ podtržení {\ theta}} ^ {\ overline {\ theta}} \ left ({\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné \ theta \, \ částečné x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ částečné c} {\ částečné x}} (x) \ pravé) p (\ theta) \, d \ theta = 0}$

Průměrné zkreslení přebytku jistiny musí být 0. Chcete-li zploštit plán, najděte takový, aby jeho inverzní obraz mapoval na interval splňující výše uvedenou podmínku. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

Viz také

Poznámky

Reference

• Clarke, Edward H. (1971). „Vícedílné ceny veřejných statků“ (PDF) . Veřejná volba . 11 (1): 17–33. doi : 10,1007 / BF01726210 . JSTOR  30022651 . S2CID  154860771 .
• Gibbard, Allan (1973). „Manipulace s hlasovacími schématy: obecný výsledek“ (PDF) . Econometrica . 41 (4): 587–601. doi : 10,2307 / 1914083 . JSTOR  1914083 .
• Groves, Theodore (1973). „Pobídky v týmech“ (PDF) . Econometrica . 41 (4): 617–631. doi : 10,2307 / 1914085 . JSTOR  1914085 .
• Harsanyi, John C. (1967). „Hry s neúplnými informacemi, které hrají hráči„ Bayesian “, I-III. Část I. Základní model.“ Věda o řízení . 14 (3): 159–182. doi : 10,1287 / mnsc.14.3.159 . JSTOR  2628393 .
• Mirrlees, JA (1971). „Průzkum v teorii optimálního zdanění příjmů“ (PDF) . Přehled ekonomických studií . 38 (2): 175–208. doi : 10,2307 / 2296779 . JSTOR  2296779 . Archivovány z původního (PDF) 10. května 2017 . Citováno 2016-08-12 .
• Myerson, Roger B .; Satterthwaite, Mark A. (1983). „Efektivní mechanismy pro dvoustranné obchodování“ (PDF) . Journal of Economic Theory . 29 (2): 265–281. doi : 10.1016 / 0022-0531 (83) 90048-0 . hdl : 10419/220829 .
• Satterthwaite, Mark Allen (1975). „Strategie-důkaznost a podmínky společnosti Arrow: Věty o existenci a korespondenci pro hlasovací postupy a funkce sociální péče“. Journal of Economic Theory . 10 (2): 187–217. CiteSeerX  10.1.1.471.9842 . doi : 10.1016 / 0022-0531 (75) 90050-2 .
• Vickrey, William (1961). „Counterpeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders“ (PDF) . The Journal of Finance . 16 (1): 8–37. doi : 10.1111 / j.1540-6261.1961.tb02789.x .

Další čtení

• Kapitola 7 Fudenberga, Drew; Tirole, Jean (1991), Game Theory , Boston: MIT Press , ISBN 978-0-262-06141-4. Standardní text pro teorii her pro absolventy.
• Kapitola 23 Mas-Colell ; Whinston; Green (1995), Microeconomic Theory , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-507340-9. Standardní text pro absolventskou mikroekonomii.
• Milgrom, Paul (2004), Putting Auction Theory to Work , New York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55184-7. Aplikace principů návrhu mechanismu v kontextu aukcí.
• Noam Nisan . Google tech diskuse o návrhu mechanismu.
• Legros, Patrick; Cantillon, Estelle (2007). „Co je návrh mechanismu a proč je to důležité pro tvorbu politiky?“ . Centrum pro výzkum hospodářské politiky .
• Roger B. Myerson (2008). „Mechanism Design,“ The New Palgrave Dictionary of Economics Online, Abstract.
• Diamantaras, Dimitrios (2009), Sada nástrojů pro ekonomický design , New York: Palgrave Macmillan , ISBN 978-0-230-61060-6. Postgraduální text speciálně zaměřený na konstrukci mechanismů.

externí odkazy

• „ Přednáška Nobelovy ceny “ Erica Maskina přednesená 8. prosince 2007 na Aula Magna na Stockholmské univerzitě.