Hypercube - Hypercube

Perspektivní projekce

Kostka (3 kostky)	Tesseract (4 kostky)

V geometrii , je hypercube je n rozměrný analog čtverce ( n = 2 ) a kostky ( n = 3 ). Je to uzavřená , kompaktní , konvexní postava, jejíž 1- kostra se skládá ze skupin protilehlých rovnoběžných segmentů zarovnaných v každém z rozměrů prostoru , kolmých na sebe a stejné délky. Nejdelší diagonála jednotky n krychle v n rozměrech se rovná . ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

N -dimenzionální hyperkostka je běžně označován jako n -CUBE nebo někdy jako N rozměrné krychle . Termín opatření mnohostěn (původem z Elte, 1912), se také používá, zejména v práci HSM Coxeter který také štítky v hypercubes gama n Polytopes.

Hyperkrychle je speciální případ hyperpravého úhlu (také nazývaného n-ortotop ).

Jednotka hypercube je hypercube, jehož strana je délka jedné jednotky . Často je hypercube jehož rohy (nebo vrcholy ) jsou 2 ⁿ bodů v R ⁿ s každou souřadnou rovno 0 nebo 1, se nazývá jednotka hypercube.

Konstrukce

Diagram ukazující, jak vytvořit tesseract z bodu.

Animace ukazující, jak vytvořit tesseract z bodu.

Hyper kostku lze definovat zvýšením počtu rozměrů tvaru:

0 - Bod je hyper kostka nulové dimenze.

1 - Pokud jeden posune tento bod o jednu jednotku délky, smete úsečku, což je jednotková hyperkrychle dimenze jedna.

2 - Pokud někdo posune tento úsečkový úsek o jeho délku v kolmém směru od sebe; vymetá 2-dimenzionální čtverec.

3 -Pokud se člověk přesune o čtverec o jednu jednotku délky ve směru kolmém na rovinu, na které leží, vygeneruje trojrozměrnou krychli.

4 -Pokud někdo přesune kostku o jednu jednotku délky do čtvrté dimenze, vygeneruje 4-dimenzionální jednotkovou hyper kostku (unit tesseract ).

To lze zobecnit na libovolný počet dimenzí. Tento proces zametání objemů lze matematicky formalizovat jako Minkowského součet : d -dimenzionální hyperkrychle je Minkowského součet d vzájemně kolmých segmentů úseček jednotkové délky, a je proto příkladem zonotopu .

1- kostra hyperkrychle je hyperkrychlový graf .

Souřadnice vrcholů

Jednotková hyperkrychle dimenze je konvexní trup všech bodů, jejichž karteziánské souřadnice jsou rovné buď nebo . Tato Hyperkrychle je také kartézský produkt z kopií jednotky intervalu . Další jednotkovou hyperkrychli, soustředěnou na počátku okolního prostoru, lze z této získat překladem . Je to konvexní trup bodů, jejichž vektory jsou karteziánské souřadnice ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle [0,1]^{n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$

${\ Displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ cdots, \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \! \ !.}$

Zde symbol znamená, že každá souřadnice je buď rovná nebo . Tato jednotková hyper kostka je také kartézským produktem . Libovolná jednotková hyper kostka má délku hrany a objemový objem . ${\ Displaystyle \ pm}$${\ Displaystyle 1/2}$${\ Displaystyle -1/2}$${\ Displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$

-Dimenzionální hypercube získá ve formě konvexního obalu bodů o souřadnicích nebo ekvivalentně jako kartézský produkt je také často považován za v důsledku jednodušší formě jeho souřadnic vrcholů. Jeho délka okraje je a jeho -dimenzionální objem je . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ cdots, \ pm 1)}$${\ Displaystyle [-1,1]^{n}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2^{n}}$

Tváře

Každá hyper kostka připouští jako své tváře hyper kostky nižší dimenze obsažené v její hranici. Hyperkrychle dimenze připouští fasety nebo plochy dimenze : ( -dimenzionální) úsečka má koncové body; ( -dimenzionální) čtverec má strany nebo hrany; -dimenzionální kostka má čtverečních tváře; ( -dimenzionální) tesseract má jako fasety trojrozměrnou krychli. Počet vrcholů hyperkrychle dimenze je (například obvyklá -dimenzionální krychle má vrcholy). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2^{n}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 2^{3} = 8}$

Počet -dimenzionálních hyper kostek (odtud dále označovaných jako -kostky) obsažených na hranici -kostky je ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle E_ {m, n} = 2^{nm} {n \ choose m}}$, Kde a značí faktoriál z .${\ Displaystyle {n \ choose m} = {\ frac {n!} {m! \, (nm)!}}}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

Například hranice -cube ( ) obsahuje kostky ( -cubes), čtverce ( -cubes), úsečky ( -cubes) a vrcholy ( -cubes). Tuto identitu lze prokázat jednoduchým kombinatorickým argumentem: pro každý z vrcholů hyperkrychle existují způsoby, jak zvolit kolekci hran, které s tímto vrcholem souvisejí. Každá z těchto kolekcí definuje jednu z -dimenzionálních tváří dopadajících na uvažovaný vrchol. Když to provedeme pro všechny vrcholy hyperkrychle, každá z -dimenzionálních ploch hyperkrychle se započítá krát, protože má tolik vrcholů, a musíme toto číslo dělit . ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 24}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 32}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 16}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2^{n}}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 2^{m}}$${\ Displaystyle 2^{n} {\ tbinom {n} {m}}}$

Počet fazet hyperkrychle lze použít k výpočtu -dimenzionálního objemu jeho hranice: tento objem je násobkem objemu a -dimenzionální hyper krychle; to znamená, kde je délka hran hyperkrychle. ${\ Displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle 2ns^{n-1}}$${\ displaystyle s}$

Tato čísla lze také generovat pomocí relace lineární rekurence

${\ Displaystyle E_ {m, n} = 2E_ {m, n-1}+E_ {m-1, n-1} \!}$S , a když , nebo .${\ displaystyle E_ {0,0} = 1}$${\ displaystyle E_ {m, n} = 0}$${\ Displaystyle n <m}$${\ displaystyle n <0}$${\ displaystyle m <0}$

Například rozšíření čtverce o 4 vrcholy přidá jeden vrchol navíc (hranu) na vrchol. Přidáním protějšího čtverce do krychle získáte úsečky. ${\ displaystyle E_ {1,3} = 12}$

Počet z -dimenzionální čely rozměrné hyperkrychli (sekvence A038207 v OEIS ) ${\ displaystyle E_ {m, n}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n -kostka	Jména	Schläfli Coxeter	Vrchol 0-tvář	Okraj 1-tvář	Tvář 2-tvář	Buňka 3-tvář	4-tvář	5 tváří	6-tvář	7 tváří	8 tváří	9 tváří	10 tváří
0	0 kostka	Point Monon	()	1
1	1 kostka	Čárový segment Dion	{}	2	1
2	2 kostky	Náměstí Tetragon	{4}	4	4	1
3	3 kostky	Cube Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	4 kostky	Tesseract Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5 kostek	Penteract Deca-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6 kostek	Hexeract Dodeca-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7 kostek	Hepteract Tetradeca-7-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8 kostek	Octeract Hexadeca-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9 kostka	Enneract Octadeca-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10 kostek	Dekeract Icosa-10-top	{4,3,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafy

N -CUBE lze promítnout v pravidelných 2 n -gonal polygonu prostřednictvím zkosení ortogonální projekce , znázorněném od úsečce na 15-krychle.

Petrieho mnohoúhelník Ortografické projekce

Směřovat	Úsečka	Náměstí	Krychle	Tesseract
5 kostek	6 kostek	7 kostek	8 kostek
9 kostka	10 kostek	11 kostek	12 kostek
13 kostek	14 kostek	15 kostek	16 kostek

Projekce rotujícího tesseraktu .

Příbuzné rodiny polytopů

Hypercubes jsou jednou z mála rodin pravidelných polytopů, které jsou zastoupeny v libovolném počtu dimenzí.

Rodina hypercube (offset) je jednou ze tří pravidelných polytopních rodin, označených Coxeterem jako γ _n . Zbylé dva jsou hypercube dual family, cross-polytopes , označené jako β _n, a zjednodušení , označené jako α _n . Čtvrtou rodinu, nekonečné mozaiky hyper kostek , označil jako δ _n .

Další příbuznou rodinou semiregulárních a uniformních polytopů jsou demihypercubes , které jsou konstruovány z hypercubes s odstraněnými alternativními vrcholy a přidanými simplexními fazetami v mezerách, označenými jako hγ _n .

n -kostky lze kombinovat s jejich duály ( křížové polytopy ) za vzniku složených polytopů:

• Ve dvou dimenzích získáme postavu oktagramové hvězdy {8/2},
• Ve třech rozměrech získáme sloučeninu krychle a osmistěnu ,
• Ve čtyřech rozměrech získáme sloučeninu tesseractu a 16 buněk .

Vztah k ( n -1) zjednodušením

Graf v n hran -hypercube je izomorfní s Hasse diagramu z ( n -1) - simplex je obličej mřížky . To lze vidět orientací n -hypercube tak, že dva protilehlé vrcholy leží svisle, což odpovídá samotnému ( n −1) -simplexu a nulovému polytopu. Každý vrchol spojený s horním vrcholem se pak jedinečně mapuje na jednu z fazet ( n −1) -simplex ( n −2 tváří) a každý vrchol spojený s těmito vrcholy se mapuje na jednu z n −3 tváří simplexu atd. , a vrcholy připojené ke spodní mapě vrcholů k vrcholům simplexu.

Tento vztah může být použit pro efektivní generování čelní mřížky ( n- 1) -simplexu, protože algoritmy výčtu obličejové mřížky použitelné pro obecné polytopy jsou výpočetně nákladnější.

Generalizované hyper kostky

Pravidelné komplexní polytopy lze definovat v komplexním Hilbertově prostoru nazývaném generalizované hyper kostky , γ^p
_n= _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ , nebo... Skutečná řešení existují s p = 2, tj. Γ²
_n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .., 3}. Pro p > 2 existují v . Fazety jsou zobecněné ( n −1) krychle a vrcholová figura jsou pravidelné simplexy . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$

Pravidelný mnohoúhelník obvodu je vidět na těchto kolmými průměty se nazývá Petrie polygon . Zobecněné čtverce ( n = 2) jsou zobrazeny s okraji načrtnutými jako červené a modré střídající se barevné p -okraje, zatímco vyšší n -kostky jsou nakresleny černými obrysovými p -hranami.

Počet m -Face prvků v p -generalized n -CUBE jsou: . Jedná se o p ⁿ vrcholů a pn fazet. ${\ Displaystyle p^{nm} {n \ choose m}}$

Generalizované hyper kostky

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$	γ2 2= {4} = 4 vrcholy	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}}$	γ3 2 = 9 vrcholů	γ4 2 = 16 vrcholů	γ5 2 = 25 vrcholů	γ6 2 = 36 vrcholů	γ7 2 = 49 vrcholů	γ8 2 = 64 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$	γ2 3= {4,3} = 8 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{3}}$	γ3 3 = 27 vrcholů	γ4 3 = 64 vrcholů	γ5 3 = 125 vrcholů	γ6 3 = 216 vrcholů	γ7 3 = 343 vrcholů	γ8 3 = 512 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$	γ2 4= {4,3,3} = 16 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{4}}$	γ3 4 = 81 vrcholů	γ4 4 = 256 vrcholů	γ5 4 = 625 vrcholů	γ6 4 = 1296 vrcholů	γ7 4 = 2401 vrcholů	γ8 4 = 4096 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{5}}$	γ2 5= {4,3,3,3} = 32 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{5}}$	γ3 5 = 243 vrcholů	γ4 5 = 1024 vrcholů	γ5 5 = 3125 vrcholů	γ6 5 = 7776 vrcholů	γ7 5 = 16 807 vrcholů	γ8 5 = 32 768 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{6}}$	γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{6}}$	γ3 6 = 729 vrcholů	γ4 6 = 4096 vrcholů	γ5 6 = 15 625 vrcholů	γ6 6 = 46 656 vrcholů	γ7 6 = 117 649 vrcholů	γ8 6 = 262 144 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{7}}$	γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{7}}$	γ3 7 = 2187 vrcholů	γ4 7 = 16 384 vrcholů	γ5 7 = 78 125 vrcholů	γ6 7 = 279 936 vrcholů	γ7 7 = 823 543 vrcholů	γ8 7 = 2 097 152 vrcholů
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{8}}$	γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3}} = 256 vrcholů	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{8}}$	γ3 8 = 6561 vrcholů	γ4 8 = 65 536 vrcholů	γ5 8 = 390 625 vrcholů	γ6 8 = 1 679 616 vrcholů	γ7 8 = 5 764 801 vrcholů	γ8 8 = 16 777 216 vrcholů

Viz také

• Propojovací síť Hypercube počítačové architektury
• Hyperoctahedral skupina , skupina symetrie hyperkrychle
• Hypersféra
• Jednostranně
• Rovnoběžník
• Ukřižování (Corpus Hypercubus) (slavné umělecké dílo)

Poznámky

Reference

• Bowen, JP (duben 1982). „Hypercube“ . Praktické výpočty . 5 (4): 97–99. Archivovány od originálu na 2008-06-30 . Citováno 30. června 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). Pravidelné Polytopes (3. ed.). §7.2. viz obrázek Obr. 7-2 C : Dover . s.  122-123 . ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: location ( link )p. 296, tabulka I (iii): Pravidelné polytopy, tři pravidelné polytopy v n rozměrech ( n  ≥ 5)
• Hill, Frederick J .; Gerald R. Peterson (1974). Úvod do teorie přepínání a logického designu: druhé vydání . New York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Srov. Kapitola 7.1 „Krychlová reprezentace booleovských funkcí“, kde je pojem „hyper krychle“ představen jako prostředek k prokázání kódu vzdálenosti 1 ( šedý kód ) jako vrcholů hyperkocky a poté hyperkrychle s takto označenými vrcholy je zmáčknuté do dvou dimenzí, aby vytvořily buď Veitchův diagram nebo Karnaughovu mapu .

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Hypercube“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Hypercube grafy“ . MathWorld .
• www.4d-screen.de (Rotace 4D-7D-Cube)
• Rotace Hypercube od Enrique Zelenyho, Wolfram Demonstrations Project .
• Stereoskopická animovaná Hypercube
• Stahování Hypercube Rudy Ruckera a Farideha Dormishiana
• A001787 Počet hran v n-dimenzionální hyperkrychli. v OEIS