Model Black – Derman – Toy - Black–Derman–Toy model

V matematických financích je model Black – Derman – Toy ( BDT ) oblíbeným modelem s krátkými sazbami, který se používá při oceňování opcí na dluhopisy , swapcí a jiných úrokových derivátů ; viz Mřížkový model (finance) § Úrokové deriváty . Jedná se o model s jedním faktorem; to znamená, že jediný stochastický faktor - krátká sazba - určuje budoucí vývoj všech úrokových sazeb. Jednalo se o první model, který kombinoval chování krátkého kurzu s reverzním průměrem a log-normální distribucí , a je stále široce používán.

Dějiny

Model představili Fischer Black , Emanuel Derman a Bill Toy. Poprvé byl vyvinut pro interní použití společností Goldman Sachs v 80. letech minulého století a byl publikován v časopise Financial Analysts Journal v roce 1990. Osobní popis vývoje modelu je uveden v monografii Emanuela Dermana Můj život jako kvant .

Vzorce

Podle BDT pomocí binomické mříž , jedno kalibruje parametry modelu, aby se vešly jak současnou časovou strukturu sazeb ( výtěžek křivka ), a volatility strukturu pro uzávěry úrokové (obvykle jako implikované pomocí Black-76 -Ceny pro každou složku caplet); vidět stranou. Pomocí kalibrované mřížky je pak možné ocenit řadu složitějších cenných papírů citlivých na úrokovou sazbu a úrokových derivátů .

Přestože byl model původně vyvinut pro prostředí založené na mřížce, bylo ukázáno, že zahrnuje následující spojitou stochastickou diferenciální rovnici :

${\ Displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t}+{\ frac {\ sigma '_ {t}} {\ sigma _ {t}}} \ ln (r)] dt+\ sigma _ { t} \, dW_ {t}}$

kde,

${\ displaystyle r \,}$ = okamžitá krátká sazba v čase t

${\ displaystyle \ theta _ {t} \,}$ = hodnota podkladového aktiva při vypršení platnosti opce

${\ displaystyle \ sigma _ {t} \,}$ = okamžitá volatilita krátké sazby

${\ displaystyle W_ {t} \,}$= standardní Brownův pohyb pod rizikově neutrálním měřením pravděpodobnosti; jeho diferenciál .${\ displaystyle dW_ {t} \,}$

Pro konstantní (na čase nezávislou) volatilitu krátké sazby je model: ${\ displaystyle \ sigma \,}$

${\ Displaystyle d \ ln (r) = \ theta _ {t} \, dt+\ sigma \, dW_ {t}}$

Jedním z důvodů, proč je model stále populární, je to, že „standardní“ algoritmy pro vyhledávání kořenů- jako Newtonova metoda ( metoda secant ) nebo půlení- se na kalibraci velmi snadno aplikují. Podobně byl model původně popsán v algoritmickém jazyce a nepoužíval stochastický počet nebo martingales .

Reference

Poznámky

externí odkazy

• Funkce R pro výpočet krátkého stromu Black – Derman – Toy , Andrea Ruberto
• Online: Generátor stromů krátkých sazeb Black – Derman – Toy Dr. Shing Hing Man, řízení rizik společnosti Thomson-Reuters
• Online: Stanovení ceny dluhopisu pomocí modelu BDT Dr. Shing Hing Man, řízení rizik společnosti Thomson-Reuters
• Excel BDT kalkulačka a generátor stromů , Serkan Gur