Young – Laplaceova rovnice - Young–Laplace equation

Optické tenzometry používají Young-Laplaceovu rovnici k automatickému určování povrchového napětí kapaliny na základě tvaru kapky přívěsku.

Ve fyzice se Young-Laplaceova rovnice ( / L ə p l ɑː y / ) je nelineární parciální diferenciální rovnice , která popisuje kapilární tlak rozdíl trvale přes rozhraní mezi dvěma statickými tekutinami , jako je voda a vzduch , v důsledku jevu z povrchového napětí nebo napětí stěn , i když použití této sloučeniny je použitelný pouze v případě, za předpokladu, že stěna je velmi tenká. Young – Laplaceova rovnice souvisí tlakový rozdíl s tvarem povrchu nebo stěny a je zásadně důležitý při studiu statických kapilárních povrchů . Jedná se o prohlášení o normální rovnováze napětí pro statické kapaliny, které se setkávají na rozhraní, kde je rozhraní považováno za povrch (nulová tloušťka):

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Delta p & = - \ gamma \ nabla \ cdot {\ hat {n}} \\ & = - \ gamma H_ {f} \\ & = - \ gamma \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$

kde je Laplaceův tlak , tlakový rozdíl na rozhraní kapaliny (vnější tlak minus vnitřní tlak), je povrchové napětí (nebo napětí ve stěně ), je normální jednotka směřující z povrchu, je střední zakřivení , a a jsou hlavní poloměry zakřivení . Všimněte si, že se uvažuje pouze normální napětí, je to proto, že se ukázalo, že statické rozhraní je možné pouze při absenci tangenciálního napětí. ${\ displaystyle \ Delta p}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$${\ displaystyle H_ {f}}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$

Rovnice je pojmenována po Thomasovi Youngovi , který rozvinul kvalitativní teorii povrchového napětí v roce 1805, a Pierre-Simon Laplace, který dokončil matematický popis v následujícím roce. To je někdy také nazýváno Young-Laplace-Gauss rovnice, jako Carl Friedrich Gauss sjednocené práci mladých a Laplace v roce 1830, které vyplývají jak diferenciální rovnice a okrajové podmínky pomocí Johann Bernoulli ‚s virtuální pracovní principy.

Mýdlové filmy

Pokud je tlakový rozdíl nulový, jako v mýdlovém filmu bez gravitace, rozhraní bude mít tvar minimálního povrchu .

Emulze

Rovnice také vysvětluje energii potřebnou k vytvoření emulze . K vytvoření malých, vysoce zakřivených kapiček emulze je zapotřebí energie navíc k překonání velkého tlaku, který je výsledkem jejich malého poloměru.

Laplaceův tlak, který je větší u menších kapiček, způsobuje difúzi molekul z nejmenších kapiček v emulzi a řídí zhrubnutí emulze Ostwaldovým zráním .

Kapilární tlak v trubici

Sférický meniskus s úhlem smáčení menším než 90 °

V dostatečně úzký (tj, nízký počet Bond ) trubka kruhového průřezu (poloměr a ), je rozhraní mezi dvěma tekutinami, vytváří menisku , že je část povrchu koule s poloměrem R . Skok tlaku přes tento povrch souvisí s poloměrem a povrchovým napětím γ o

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {2 \ gamma} {R}}.}$

To lze ukázat napsáním Young – Laplaceovy rovnice ve sférické formě s okrajovou podmínkou kontaktního úhlu a také předepsanou hraniční podmínkou výšky, řekněme, na dně menisku. Řešení je částí koule a řešení bude existovat pouze pro výše uvedený tlakový rozdíl. To je významné, protože neexistuje jiná rovnice nebo zákon, který by specifikoval tlakový rozdíl; předepisuje to existence řešení pro jednu konkrétní hodnotu tlakového rozdílu.

Poloměr koule bude funkcí pouze kontaktního úhlu θ, který zase závisí na přesných vlastnostech tekutin a materiálu nádoby, se kterou dotyčné tekutiny přicházejí do styku / na rozhraní:

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ cos \ theta}}}$

takže tlakový rozdíl lze zapsat jako:

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {2 \ gamma \ cos \ theta} {a}}.}$

Ilustrace vzestupu kapiláry. Červená = kontaktní úhel menší než 90 °; modrá = kontaktní úhel větší než 90 °

Aby se zachovala hydrostatická rovnováha , je indukovaný kapilární tlak vyvážen změnou výšky h , která může být pozitivní nebo negativní, v závislosti na tom, zda je úhel smáčení menší než nebo větší než 90 °. Pro tekutinu o hustotě ρ:

${\ displaystyle \ rho gh = {\ frac {2 \ gamma \ cos \ theta} {a}}.}$

- kde g je gravitační zrychlení . Toto je někdy známé jako Jurinův zákon nebo Jurinova výška po Jamesi Jurinovi, který studoval účinek v roce 1718.

U skleněné trubice naplněné vodou na vzduchu na úrovni hladiny moře :

- a tak výška vodního sloupce je dána vztahem:

${\ displaystyle h \ přibližně {{1,4 \ krát 10 ^ {- 5}} \ přes a}}$ m .

U trubky o šířce 2 mm (poloměr 1 mm) by tedy voda vzrostla o 14 mm. U kapiláry s poloměrem 0,1 mm by však voda vzrostla o 14 cm (asi 6 palců ).

Kapilární akce obecně

Obecně platí, že pro volný povrch a tam, kde je aplikovaný „přetlak“, Δ p , na rozhraní v rovnováze, existuje rovnováha mezi aplikovaným tlakem, hydrostatickým tlakem a účinky povrchového napětí. Young-Laplaceova rovnice se stojí:

${\ displaystyle \ Delta p = \ rho gh- \ gamma \ vlevo ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} \ vpravo)}$

Rovnici lze nedimenzionalizovat, pokud jde o její charakteristickou délkovou stupnici, délku kapiláry :

${\ displaystyle L_ {c} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma} {\ rho g}}},}$

- a charakteristický tlak :

${\ displaystyle p_ {c} = {\ frac {\ gamma} {L_ {c}}} = {\ sqrt {\ gamma \ rho g}}.}$

U čisté vody při standardní teplotě a tlaku je délka kapiláry ~ 2 mm .

Nerozměrná rovnice se pak stává:

${\ displaystyle h ^ {*} - \ Delta p ^ {*} = \ left ({\ frac {1} {{R_ {1}} ^ {*}}} + {\ frac {1} {{R_ { 2}} ^ {*}}} \ vpravo).}$

Tvar povrchu je tedy určen pouze jedním parametrem, přetlak kapaliny, Δ p ^* a měřítko povrchu je dáno délkou kapiláry . Řešení rovnice vyžaduje počáteční podmínku pro polohu a gradient povrchu v počátečním bodě.

Pro přetlak Δp ^* = 3 a počáteční stav r ₀ = 10 ⁻⁴ , z ₀ = 0, dz / dr = 0 se vytvoří závěsný pokles

Pro přetlak Δp ^* = 3,5 a počáteční stav r ₀ = 0,25 ⁻⁴ , z ₀ = 0, dz / dr = 0 se vytváří kapalný můstek

Axismetmetrické rovnice

(Nedimenzionální) tvar, r ( z ) osově souměrného povrchu lze zjistit dosazením obecných výrazů za zakřivení za vzniku hydrostatických Young-Laplaceových rovnic :

${\ displaystyle {\ frac {r ''} {(1 + r '^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} - {\ frac {1} {r (z) {\ sqrt {1 + r '^ {2}}}}} = z- \ Delta p ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ frac {z ''} {(1 + z '^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} + {\ frac {z'} {r (1 + z ' ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}}}} = \ Delta p ^ {*} - z (r).}$

Aplikace v medicíně

V medicíně se často označuje jako Laplaceův zákon , který se používá v kontextu kardiovaskulární fyziologie , a také fyziologie dýchání , ačkoli toto použití je často mylné.

Dějiny

Francis Hauksbee provedl některá z prvních pozorování a experimentů v roce 1709 a tyto byly zopakovány v roce 1718 Jamesem Jurinem, který poznamenal, že výška tekutiny v kapilárním sloupci byla funkcí pouze plochy průřezu na povrchu, nikoli žádného jiného rozměry sloupu.

Thomas Young položil základy rovnice ve svém příspěvku Esej o soudržnosti tekutin z roku 1804, kde popisně popsal principy, jimiž se řídí kontakt mezi tekutinami (spolu s mnoha dalšími aspekty chování tekutin). Pierre Simon Laplace na to navázal v Mécanique Céleste výše uvedeným formálním matematickým popisem, který symbolicky reprodukoval vztah popsaný dříve Youngem.

Laplace přijal myšlenku, kterou navrhl Hauksbee ve své knize Fyzikálně-mechanické experimenty (1709), že tento jev byl způsoben silou přitažlivosti, která byla necitlivá na rozumných vzdálenostech. Část, která se zabývá působením pevné látky na kapalinu a vzájemným působením dvou kapalin, nebyla důkladně rozpracována, ale nakonec ji dokončil Carl Friedrich Gauss . Franz Ernst Neumann (1798-1895) později vyplnil několik podrobností.

Reference

Bibliografie

• Maxwell, James Clerk ; Strutt, John William (1911). "Kapilární akce"  . V Chisholm, Hugh (ed.). Encyklopedie Britannica . 5 (11. vydání). Cambridge University Press. str. 256–275. CS1 maint: discouraged parameter ( link )
• Batchelor, GK (1967) An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press
• Jurin, J. (1716). „Popis některých experimentů před Královskou společností; s vyšetřováním příčin vzestupu a suspendování vody v kapilárách“ . Filozofické transakce královské společnosti . 30 (351–363): 739–747. doi : 10,1098 / rstl.1717.0026 . S2CID   186211806 .
• Tadros TF (1995) Surfactants in Agrochemicals , Surfactant Science series, sv. 54, Dekker

externí odkazy

Měření povrchového napětí pomocí Young-Laplaceovy rovnice