Uhlazený osmiúhelník - Smoothed octagon

Uhlazený osmiúhelník.

Rodina maximálně hustých náplní vyhlazeného osmiúhelníku.

Vyhlazené Octagon je oblast v rovině nalezený Karlem Reinhardt v roce 1934 a domýšlel jím má nejnižší maximální hustotu uspořádání na rovině všech středově symetrický konvexní tvary. Nezávisle ho objevil Kurt Mahler v roce 1947. Je konstruován nahrazením rohů pravidelného osmiúhelníku částí hyperboly, která je tečná ke dvěma stranám sousedícím s rohem a asymptotická ke stranám sousedícím s nimi.

Konstrukce

Rohy vyhlazeného osmiúhelníku lze najít otočením tří pravidelných osmiúhelníků, jejichž středy tvoří trojúhelník s konstantní plochou.

Tvar vyhlazeného osmiúhelníku lze odvodit z jeho ucpávek, které umisťují osmiúhelníky do bodů trojúhelníkové mřížky. K určení tvaru rohů lze použít požadavek, aby tyto náplně měly stejnou hustotu bez ohledu na to, jak se mřížka a vyhlazený osmiúhelník vzájemně otáčejí, s tvary, které zůstávají v kontaktu s každým sousedním tvarem. Jeden z obrázků ukazuje tři osmiúhelníky, které se otáčejí, zatímco oblast trojúhelníku tvořeného jejich středy zůstává konstantní a udržuje je co nejblíže pohromadě. U běžných osmiúhelníků by se červené a modré tvary překrývaly, takže aby bylo možné pokračovat v rotaci, jsou rohy oříznuty k bodu, který leží uprostřed mezi jejich středy a vytváří požadovanou křivku, která se ukazuje jako hyperbola.

Konstrukce vyhlazeného osmiúhelníku (černá), tečné hyperboly (červená) a asymptot této hyperboly (zelená) a tečných stran hyperboly (modrá).

Hyperbola je vytvořena tečna ke dvěma stranám osmiúhelníku a asymptotická ke dvěma sousedícím s nimi. Následující podrobnosti se vztahují na pravidelný osmiúhelník s kruhovým poloměrem se středem v bodě a jedním vrcholem v bodě . Pro dvě konstanty a je hyperbola dána rovnicí ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle (2,0)}$ ${\ displaystyle \ ell = {\ sqrt {2}} - 1}$ ${\ displaystyle m = (1/2) ^ {1/4}}$

{\ displaystyle \ ell ^ {2} x ^ {2} -y ^ {2} = m ^ {2}}

nebo ekvivalentní parametrizace (pouze pro pravou větev)

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} x & = {\ frac {m} {\ ell}} \ cosh {t} \\ y & = m \ sinh {t} \\\ konec {zarovnáno}}}

pro část hyperboly, která tvoří roh, danou rozsahem hodnot parametrů

{\ displaystyle - {\ frac {\ ln {2}} {4}} <t <{\ frac {\ ln {2}} {4}}.}

Čáry osmiúhelníku tečna k hyperbole jsou a čáry asymptotické k hyperbole jsou jednoduše . ${\ displaystyle y = \ pm \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ left (x-2 \ right)}$ ${\ displaystyle y = \ pm \ ell x}$

Balení

Vyhlazený osmiúhelník má maximální hustotu balení danou

{\ displaystyle {\ frac {8-4 {\ sqrt {2}} - \ ln {2}} {2 {\ sqrt {2}} - 1}} \ přibližně 0,902414 \ ,.}

To je nižší než maximální hustota balení kruhů , která je

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {12}}} \ přibližně 0,906899.}

Maximální známá hustota balení běžného pravidelného osmiúhelníku je

{\ displaystyle {\ frac {4 + 4 {\ sqrt {2}}} {5 + 4 {\ sqrt {2}}}} \ přibližně 0,906163,}

také o něco menší než maximální hustota těsnění kruhů, ale vyšší než hustota vyhlazeného osmiúhelníku.

Nevyřešený problém v matematice :

Je vyhlazený osmiúhelník centrálně symetrický tvar s nejnižší maximální hustotou balení?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Vyhlazený osmiúhelník dosahuje maximální hustoty balení, a to nejen pro jedno balení, ale pro rodinu s 1 parametrem. To vše jsou příhradové obaly. Reinhardtova domněnka , že vyhlazený osmiúhelník má nejnižší maximální hustotu balení ze všech centrálně symetrických konvexních tvarů v rovině, zůstává nevyřešen. Pokud není vyžadována centrální symetrie, má pravidelný sedmiúhelník ještě nižší hustotu balení, ale jeho optimálnost je také neprokázaná. Ve třech rozměrech Ulamova domněnka o balení uvádí, že žádný konvexní tvar nemá nižší maximální hustotu balení než míč.

Reference

externí odkazy

Nejtenčí nejhustší dvourozměrné balení? . Peter Scholl, 2001.

Languages

In other projects

Uhlazený osmiúhelník - Smoothed octagon

Obsah

Konstrukce

Balení

Reference

externí odkazy