Oscilace (matematika) - Oscillation (mathematics)

Oscilace sekvence (znázorněná modře) je rozdílem mezi horní a dolní mezí posloupnosti.

V matematiky se kmitání z funkce , nebo sekvence, je číslo, které kvantifikuje, jak moc, že sekvence nebo funkce se liší mezi jeho krajními hodnotami , jak se blíží k nekonečnu, nebo bod. Jak je tomu u limitů , existuje několik definic, které dávají intuitivní koncept do formy vhodné pro matematické zpracování: oscilace sekvence reálných čísel , oscilace funkce s reálnou hodnotou v bodě a oscilace funkce na intervalu (nebo otevřená množina ).

Definice

Oscilace sekvence

Nechť je posloupnost skutečných čísel. Oscilace této sekvence je definována jako rozdíl (případně nekonečno) mezi hranicí lepší a omezit nižší z : ${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle \ omega (a_ {n})}$${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ Displaystyle \ omega (a_ {n}) = \ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n}-\ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$.

Oscilace je nulová právě tehdy, když se posloupnost sbíhá. Je definována v případě, a jsou obě rovna + ∞ nebo oba rovny -∞, to znamená, že v případě, že sekvence má tendenci + ∞ nebo -∞. ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty}}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty}}$

Oscilace funkce na otevřené množině

Nechť je funkcí skutečné proměnné v reálné hodnotě. Oscilace na intervalu ve svém oboru, je rozdíl mezi supremu a infima z : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (I) = \ sup _ {x \ in I} f (x)-\ inf _ {x \ in I} f (x).}$

Obecněji řečeno, pokud jde o funkci v topologickém prostoru (například v metrickém prostoru ), pak oscilace v otevřené sadě je ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (U) = \ sup _ {x \ in U} f (x)-\ inf _ {x \ in U} f (x).}$

Oscilace funkce v bodě

Oscilace funkce reálné proměnné v bodě je definována jako mez kmitání v sousedství : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon \ to 0}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ omega _ {f} (x_ {0}-\ epsilon, x_ {0}+\ epsilon). }$

To je stejné jako rozdíl mezi mezní nadřazenou a mezní nižší funkcí u , za předpokladu, že bod není z limitů vyloučen. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Obecněji řečeno, je-li funkce v metrickém prostoru skutečnou hodnotou , pak oscilace je ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ omega _ {f} (B _ {\ epsilon} (x_ {0})).}$

Příklady

sin (1/ x ) ( topologická sinusová křivka ) má oscilaci 2 při x = 0 a 0 jinde.

• 1/ x má oscilaci ∞ při x = 0 a oscilaci 0 při ostatních konečných x a při −∞ a +∞.
• sin (1/ x ) ( topologická sinusová křivka ) má oscilaci 2 při x = 0 a 0 jinde.
• sin x má oscilaci 0 při každém konečném x a 2 při −∞ a +∞.
• Sekvence 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... má oscilaci 2.

V posledním příkladu je sekvence periodická a každá sekvence, která je periodická, aniž by byla konstantní, bude mít nenulovou oscilaci. Nenulová oscilace však obvykle neznamená periodicitu.

Geometricky graf oscilační funkce na skutečných číslech sleduje určitou cestu v rovině xy , aniž by se usadil ve stále menších oblastech. V dobře vychovaných případech může cesta vypadat jako smyčka, která se vrací zpět, tj. Periodické chování; v nejhorších případech docela nepravidelný pohyb pokrývající celý region.

Kontinuita

Oscilaci lze použít k definování spojitosti funkce a je snadno ekvivalentní obvyklé definici ε - δ (v případě funkcí definovaných všude na skutečné linii): funkce ƒ je spojitá v bodě x _{0 právě} tehdy, když oscilace je nulová; v symbolech, Výhodou této definice je, že kvantifikuje nespojitost: oscilace udává, jak moc je funkce v určitém bodě nespojitá. ${\ displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$

Například při klasifikaci nespojitostí :

• v odstranitelné nespojitosti je vzdálenost, o kterou je hodnota funkce vypnuta, oscilací;
• v nespojitosti skoku je velikost skoku oscilace (za předpokladu, že hodnota v bodě leží mezi těmito limity ze dvou stran);
• v podstatné diskontinuitě oscilace měří selhání existence limitu.

Tato definice je užitečná v deskriptivní teorii množin ke studiu množiny nespojitostí a spojitých bodů - spojité body jsou průsečíkem množin, kde je oscilace menší než ε (odtud sada G _δ ) - a poskytuje velmi rychlý důkaz jednoho směr podmínky integrace Lebesgue .

Oscilace je ekvivalentní definici ε - δ jednoduchým přeuspořádáním a použitím limitu ( lim sup , lim inf ) k definování oscilace: pokud (v daném bodě) pro dané ε ₀ neexistuje δ, že splňuje definici ε - δ , pak je oscilace alespoň ε ₀ , a naopak pokud pro každé ε existuje požadované δ, oscilace je 0. Definici oscilace lze přirozeně zobecnit na mapy z topologického prostoru do metrického prostoru .

Zobecnění

Obecněji řečeno, pokud f  : X → Y je funkce z topologického prostoru X do metrického prostoru Y , pak oscilace f je definována pro každé x ∈ X pomocí

${\ Displaystyle \ omega (x) = \ inf \ left \ {\ mathrm {diam} (f (U)) \ mid U \ mathrm {\ is \ a \ighbor \ of \} x \ right \}}$

Viz také

• Vlnová rovnice
• Vlnová obálka
• Grandiho série
• Ohraničená střední oscilace

Reference