Mahāvīra (matematik) - Mahāvīra (mathematician)

Mahāvīra (nebo Mahaviracharya , „učitel Maháviry “) byl matematik z 9. století, Jain, který se pravděpodobně narodil v dnešním městě Mysore v jižní Indii nebo v jeho blízkosti . Je autorem Gaṇitasārasan̄graha ( Ganita Sara Sangraha ) nebo Kompendia o podstatě matematiky v roce 850 n. L. Patronoval ho král Rashtrakuta Amoghavarsha . Oddělil astrologii z matematiky. Je to nejstarší indický text zcela věnovaný matematice. Vykládal o stejných tématech, o nichž tvrdili Aryabhata a Brahmagupta , ale vyjádřil je jasněji. Jeho práce je vysoce synkopovaným přístupem k algebře a většina jeho textu klade důraz na vývoj technik nezbytných k řešení algebraických problémů. Mezi indickými matematiky je vysoce respektován, protože zavedl terminologii pro pojmy jako rovnostranný a rovnoramenný trojúhelník; kosočtverec; kruh a půlkruh. Mahavirova eminence se rozšířila po celé jižní Indii a jeho knihy se ukázaly jako inspirativní pro další matematiky v jižní Indii . Do jazyka telugština jej přeložil Pavuluri Mallana jako Saara Sangraha Ganitamu .

Objevil algebraické identity, jako je ³ = ( + b ) ( - b ) + b ² ( - b ) + b ³ . Zjistil také vzorec pro ⁿ C _r jako [ n ( n - 1) ( n - 2) ... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2) ... 2 * 1]. On vymyslel vzorec, který aproximoval plochu a obvody elips a našel metody pro výpočet druhé mocniny čísla a krychle kořeny čísla. Ten tvrdil, že druhá odmocnina z počtu negativní neexistuje.

Pravidla pro rozklad frakcí

Mahavirova Gaṇita-sāra-saṅgraha dala systematická pravidla pro vyjádření zlomku jako součtu jednotkových zlomků . Toto následuje po použití jednotkových zlomků v indické matematice ve védském období a Śulba Sūtras dává aproximaci √ 2 ekvivalentní . ${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}}}$

V Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS) je druhá část kapitoly o aritmetice pojmenována kalā-savarṇa-vyavahāra ( doslovně „operace redukce zlomků“). V této části bhāgajāti (verše 55–98) jsou uvedena pravidla pro následující:

• Chcete-li vyjádřit 1 jako součet zlomků n jednotek (GSS kalāsavarṇa 75, příklady v 76):

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Když je výsledek jedna, jmenovatelem veličin, které mají jednu jako čitatele, jsou [čísla] začínající jednou a vynásobené třemi v pořadí. První a poslední se vynásobí dvěma a dvěma třetinami [v uvedeném pořadí].

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ tečky + {\ frac {1} {3 ^ {n-2}}} + {\ frac {1} {{\ frac {2} {3}} \ cdot 3 ^ {n-1}}}}$

• Chcete-li vyjádřit 1 jako součet lichého počtu jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 77):

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 1/2}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 1/2}} + \ tečky + {\ frac { 1} {(2n-1) \ cdot 2n \ cdot 1/2}} + {\ frac {1} {2n \ cdot 1/2}}}$

• Chcete-li vyjádřit jednotkový zlomek jako součet n jiných zlomků s danými čitateli (GSS kalāsavarṇa 78, příklady v 79): ${\ displaystyle 1 / q}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ tečky, a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {a_ {1}} {q (q + a_ {1})}} + {\ frac {a_ {2}} {(q + a_ {1}) (q + a_ {1} + a_ {2})}} + \ dots + {\ frac {a_ {n-1}} {(q + a_ {1} + \ dots + a_ {n- 2}) (q + a_ {1} + \ dots + a_ {n-1})}} + {\ frac {a_ {n}} {a_ {n} (q + a_ {1} + \ dots + a_ {n-1})}}}$

• Chcete-li vyjádřit libovolný zlomek jako součet jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 80, příklady v 81): ${\ displaystyle p / q}$

Vyberte celé číslo i takové, které je celé číslo r , pak napište ${\ displaystyle {\ tfrac {q + i} {p}}}$

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {1} {r}} + {\ frac {i} {r \ cdot q}}}$

a opakujte postup pro druhý semestr rekurzivně. (Všimněte si, že pokud i je vždy zvoleno jako nejmenší celé číslo, je toto identické s chamtivým algoritmem pro egyptské zlomky .)

• Chcete-li vyjádřit jednotkový zlomek jako součet dvou dalších jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 85, příklad v 86):

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} = {\ frac {1} {p \ cdot n}} + {\ frac {1} {\ frac {p \ cdot n} {n-1}}} }$ kde má být vybráno tak, že je celé číslo (pro které musí být násobek ). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ frac {p \ cdot n} {n-1}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {a \ cdot b}} = {\ frac {1} {a (a + b)}} + {\ frac {1} {b (a + b)}}}$

• Chcete-li vyjádřit zlomek jako součet dvou dalších zlomků s danými čitateli a (GSS kalāsavarṇa 87, příklad v 88): ${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {a} {{\ frac {ai + b} {p}} \ cdot {\ frac {q} {i}}}} + {\ frac {b} {{\ frac {ai + b} {p}} \ cdot {\ frac {q} {i}} \ cdot {i}}}}$ kde má být vybrán tak, aby rozdělil ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle ai + b}$

Některá další pravidla byla dána v Gaṇita-kaumudi z Nārāyaṇa ve 14. století.

Viz také

• Seznam indických matematiků

Poznámky

Reference

• Bibhutibhusan Datta a Avadhesh Narayan Singh (1962). History of Hindu Mathematics: A Source Book .
• Pingree, David (1970). „Mahāvīra“. Slovník vědecké biografie . New York: Synové Charlese Scribnera. ISBN   978-0-684-10114-9 . (K dispozici spolu s mnoha dalšími hesly z jiných encyklopedií pro ostatní Mahāvīry online ).
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures , Springer, Bibcode : 2008ehst.book ..... S , ISBN   978-1-4020-4559-2
• Hayashi, Takao (2013), „Mahavira“ , Encyklopedie Britannica
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (2000), „Mahavira“ , archiv historie matematiky MacTutor , University of St Andrews .
• Tabak, John (2009), Algebra: Sady, symboly a jazyk myšlení , Infobase Publishing, ISBN   978-0-8160-6875-3
• Krebs, Robert E. (2004), Průkopnické vědecké experimenty, vynálezy a objevy středověku a renesance , Greenwood Publishing Group, ISBN   978-0-313-32433-8
• Puttaswamy, TK (2012), Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians , Newnes, ISBN   978-0-12-397938-4
• Kusuba, Takanori (2004), „Indická pravidla pro rozklad frakcí“, Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker ; et al. (eds.), Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree , Brill , ISBN   9004132023 , ISSN   0169-8729