Lindbladian - Lindbladian

V kvantové mechanice je Gorini – Kossakowski – Sudarshan – Lindbladova rovnice ( GKSL rovnice pojmenovaná po Vittorio Gorini , Andrzej Kossakowski , George Sudarshan a Göran Lindblad ), hlavní rovnice v Lindbladově formě , kvantová Liouvillian nebo Lindbladian je nejobecnějším typem Markovian a časově homogenní hlavní rovnice popisující (obecně ne unitární) vývoj matice hustoty ρ, která zachovává zákony kvantové mechaniky (tj. zachovává stopy a je zcela pozitivní pro všechny počáteční podmínky).

Schrödingerova rovnice je speciální případ obecnější Lindblad rovnice, což vedlo k nějaké spekulaci, že kvantová mechanika může být produktivně prodloužena a rozšířené přes další aplikace a analýzy Lindblad rovnice. Schrödingerova rovnice se zabývá stavovými vektory , které mohou popisovat pouze čisté kvantové stavy a jsou tedy méně obecné než matice hustoty , které mohou popisovat i smíšené stavy .

Motivace

V kanonické formulaci kvantové mechaniky je vývoj času systému řízen jednotkovou dynamikou. To znamená, že v průběhu procesu nedochází k rozpadu a je udržována fázová soudržnost, což je důsledkem skutečnosti, že jsou brány v úvahu všechny zúčastněné stupně volnosti. Jakýkoli skutečný fyzický systém však není absolutně izolovaný a bude interagovat se svým prostředím. Tato interakce se stupni volnosti mimo systém má za následek rozptyl energie do okolí, což způsobuje rozpad a randomizaci fáze. Tyto efekty jsou důvodem, proč je kvantová mechanika obtížně pozorovatelná v makroskopickém měřítku. Ještě více je pochopení interakce kvantového systému s jeho prostředím nezbytné pro pochopení mnoha běžně pozorovaných jevů, jako je spontánní emise světla z excitovaných atomů nebo výkon mnoha kvantových technologických zařízení, jako je laser.

Byly zavedeny určité matematické techniky k léčbě interakce kvantového systému s jeho prostředím. Jedním z nich je použití matice hustoty a přidružené hlavní rovnice. Zatímco v zásadě je tento přístup k řešení kvantové dynamiky ekvivalentní Schrödingerovu nebo Heisenbergovu obrázku , umožňuje snadněji začlenit nesouvislé procesy, které představují interakce v životním prostředí. Operátor hustoty má tu vlastnost, že může představovat klasickou směs kvantových stavů, a je proto nezbytný pro přesné popsání dynamiky takzvaných otevřených kvantových systémů.

Definice

Obecněji lze Lindbladovu hlavní rovnici pro matici hustoty ρ dimenze N -dimenzionálního systému zapsat jako (pro pedagogický úvod se můžete odkazovat)

${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} =-{i \ over \ hbar} [H, \ rho]+\ sum _ {n, m = 1}^{N^{2} -1} h_ {nm } \ left (A_ {n} \ rho A_ {m}^{\ dagger}-{\ frac {1} {2}} \ left \ {A_ {m}^{\ dagger} A_ {n}, \ rho \dobře dobře)}$

kde H je ( Hermitian ) hamiltonovská část, a je libovolný ortonormální báze z operátorů Hilbertova-Schmidt , týkající se systému Hilbertova prostoru s tím omezením, že _{N ²} je úměrný provozovatele identity. Naše konvence znamená, že ostatní A _m jsou traceless, a na vědomí, že součet probíhá jen pro N ² - 1, takže je vyloučeno pouze základ-matice s nenulovou stopy. Koeficientová matice h spolu s hamiltonovskou určuje dynamiku systému. Matice h musí být kladný semidefinit, aby se zajistilo, že rovnice zachová stopu a bude zcela kladná. Anticommutator je definován jako${\ displaystyle \ {A_ {m} \}}$ ${\ Displaystyle \ {a, b \} = ab+ba.}$

V případě, že h _mil jsou nulové, pak se redukuje na kvantové Liouvilleova rovnice na uzavřeném systému, . Toto je také známé jako von Neumannova rovnice a je kvantovým analogem klasické Liouvilleovy rovnice . ${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} =-(i/\ hbar) [H, \ rho]}$

Protože matice h je kladný semidefinit, lze ji diagonalizovat pomocí unitární transformace u :

${\ Displaystyle u^{\ dagger} hu = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ gamma _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ gamma _ {N^{2} -1} \ end {bmatrix}}}$

kde vlastní čísla γ _i nejsou záporná. Pokud definujeme jinou základnu ortonormálních operátorů

${\ Displaystyle L_ {i} = \ sum _ {j = 1}^{N^{2} -1} u_ {ji} A_ {j}}$

můžeme Lindbladovu rovnici přepsat v diagonální formě

${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} =-{i \ over \ hbar} [H, \ rho]+\ sum _ {i = 1}^{N^{2} -1} \ gamma _ {i } \ left (L_ {i} \ rho L_ {i}^{\ dagger}-{\ frac {1} {2}} \ left \ {L_ {i}^{\ dagger} L_ {i}, \ rho \dobře dobře).}$

Nové operátory L _i se běžně nazývají Lindbladovy nebo skokové operátory systému.

Kvantová dynamická poloskupina

Mapách generovaný Lindbladian pro různé časy jsou souhrnně označovány jako kvantum dynamický pologrupa -a rodina kvantové dynamické mapy na prostoru hustotou matric indexovaný časovým parametrem jedné že poslouchat pologrupa majetku ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$${\ Displaystyle t \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ phi _ {s} (\ phi _ {t} (\ rho)) = \ phi _ {t+s} (\ rho), \ qquad t, s \ geq 0.}$

Lindbladovu rovnici lze získat pomocí

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ rho) = \ mathrm {lim} _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ phi _ {\ Delta t} (\ rho)-\ phi _ { 0} (\ rho)} {\ Delta t}}}$

který je linearitou lineárního superoperátoru. Semigroup lze obnovit jako ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$

${\ Displaystyle \ phi _ {t+s} (\ rho) = e^{{\ mathcal {L}} s} \ phi _ {t} (\ rho).}$

Neměnné vlastnosti

Lindbladova rovnice je neměnná při jakékoli unitární transformaci v Lindbladových operátorů a konstant,

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ gamma _ {i}}} L_ {i} \ to {\ sqrt {\ gamma _ {i} '}} L_ {i}' = \ sum _ {j = 1}^{ N^{2} -1} v_ {ij} {\ sqrt {\ gamma _ {j}}} L_ {j},}$

a také pod nehomogenní transformací

${\ displaystyle L_ {i} \ to L_ {i} '= L_ {i}+a_ {i} I,}$

${\ Displaystyle H \ to H '= H+{\ frac {1} {2i}} \ sum _ {j = 1}^{N^{2} -1} \ gamma _ {j} \ left (a_ {j }^{*} L_ {j} -a_ {j} L_ {j}^{\ dagger} \ right)+bI,}$

kde a _i jsou komplexní čísla a b je reálné číslo. První transformace však ničí ortonormalitu operátorů L _i (pokud nejsou všechna γ _i stejná) a druhá transformace ničí beze stopy. Proto až do degenerací mezi γ _i jsou L _i diagonální formy Lindbladovy rovnice jednoznačně určeny dynamikou, pokud požadujeme, aby byly ortonormální a beze stopy.

Heisenbergův obrázek

Evoluci hustotní matice Lindbladova typu na Schrödingerově obrázku lze ekvivalentně popsat na Heisenbergově obrázku pomocí následující (diagonalizované) pohybové rovnice pro každé kvantově pozorovatelné X :

${\ Displaystyle {\ dot {X}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, X]+\ sum _ {i = 1}^{N^{2} -1} \ gamma _ { i} \ left (L_ {i}^{\ dagger} XL_ {i}-{\ frac {1} {2}} \ left \ {L_ {i}^{\ dagger} L_ {i}, X \ right \}\že jo).}$

Podobná rovnice popisuje časový vývoj očekávaných hodnot pozorovatelných, daný Ehrenfestovou větou . Odpovídající trasování se zachováním majetku Schrödinger obraz Lindblad rovnice je Heisenberg obraz rovnice je unital , tedy zachovává operátor identity.

Fyzická derivace

Lindbladova hlavní rovnice popisuje vývoj různých typů otevřených kvantových systémů, např. Systému slabě spojeného s markovským rezervoárem. Všimněte si, že H objevující se v rovnici nemusí být nutně roven hamiltoniánskému systému, ale může také zahrnovat efektivní unitární dynamiku vyplývající z interakce systému a prostředí.

Heuristická derivace, např. V Preskillových poznámkách, začíná obecnější formou otevřeného kvantového systému a převádí jej do Lindbladovy podoby vytvořením Markovianského předpokladu a rozšířením v malém čase. Fyzicky motivovanější standardní léčba pokrývá tři běžné typy derivací Lindbladianů počínaje hamiltonovskými působícími jak na systém, tak na prostředí: slabý vazebný limit (podrobně popsaný níže), aproximace nízké hustoty a limit singulární spojky. Každý z nich závisí na konkrétních fyzických předpokladech týkajících se např. Korelačních funkcí prostředí. Například při derivaci mezních vazeb slabé vazby obvykle předpokládáme, že (a) korelace systému s prostředím se vyvíjejí pomalu, (b) excitace prostředí způsobené rychlým rozpadem systému a (c) termíny, které rychle oscilují ve srovnání se systémovým časovým okruhem zájmu lze opomenout. Tyto tři aproximace se nazývají Born, Markov a rotující vlna.

Derivace limitu slabé vazby předpokládá kvantový systém s konečným počtem stupňů volnosti spojený s lázní obsahující nekonečný počet stupňů volnosti. Systém i vana mají každý hamiltonián napsaný operátory působícími pouze na příslušný podprostor celkového Hilbertova prostoru. Tito Hamiltoniáni řídí vnitřní dynamiku odpojeného systému a lázně. Existuje třetí hamiltonián, který obsahuje produkty provozovatelů systému a lázní, čímž se systém a lázeň spojí. Nejobecnější formou tohoto hamiltoniánu je

${\ displaystyle H = H_ {S}+H_ {B}+H_ {BS} \,}$

Dynamika celého systému může být popsán Liouvilleova rovnice pohybu, . Tuto rovnici, obsahující nekonečný počet stupňů volnosti, nelze analyticky vyřešit, s výjimkou velmi konkrétních případů. A co víc, za určitých přibližné, není třeba zvážit vanové stupňů volnosti, a účinné hlavní rovnice může být odvozena z hlediska matice hustoty systému . Problém lze snadněji analyzovat přesunutím do interakčního obrazu, definovaného unitární transformací , kde je libovolný operátor, a . Všimněte si také, že jde o celkového unitárního operátora celého systému. Je snadné potvrdit, že se Liouvilleova rovnice stane ${\ displaystyle {\ dot {\ chi}} =-i [H, \ chi]}$${\ displaystyle \ rho = \ operatorname {tr} _ {B} \ chi}$${\ displaystyle {\ tilde {M}} = U_ {0} MU_ {0}^{\ dagger}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U_ {0} = e^{i (H_ {S}+H_ {B}) t}}$${\ displaystyle U (t, t_ {0})}$

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {\ chi}}} =-i [{\ tilde {H}} _ {BS}, {\ tilde {\ chi}}] \,}$

kde je hamiltonián výslovně závislý na čase. Podle interakčního obrázku také kde . Tuto rovnici lze integrovat přímo a dát ji ${\ Displaystyle {\ tilde {H}} _ {BS} = e^{i (H_ {S}+H_ {B}) t} H_ {BS} e^{-i (H_ {S}+H_ {B }) t}}$${\ Displaystyle {\ tilde {\ chi}} = U_ {BS} (t, t_ {0}) \ chi U_ {BS}^{\ dagger} (t, t_ {0})}$${\ displaystyle U_ {BS} = U_ {0}^{\ dagger} U (t, t_ {0})}$

${\ Displaystyle {\ tilde {\ chi}} (t) = {\ tilde {\ chi}} (0) -i \ int _ {0}^{t} dt '[{\ tilde {H}} _ { BS} (t '), {\ tilde {\ chi}} (t')]}$

Tuto implicitní rovnici pro lze nahradit zpět do Liouvilleovy rovnice, abychom získali přesnou diferenciální integrální rovnici ${\ displaystyle {\ tilde {\ chi}}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ tilde {\ chi}}} =-i [{\ tilde {H}} _ {BS}, {\ tilde {\ chi}} (0)]-\ int _ {0} ^{t} dt '[{\ tilde {H}} _ {BS} (t), [{\ tilde {H}} _ {BS} (t'), {\ tilde {\ chi}} (t ' )]]}$

Pokračujeme v derivaci za předpokladu, že interakce je zahájena v , a v té době neexistují žádné korelace mezi systémem a lázní. To znamená, že počáteční stav je faktorovatelný , kde je zpočátku operátor hustoty lázně. ${\ displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle \ chi (0) = \ rho (0) R_ {0}}$${\ displaystyle R_ {0}}$

Sledování stupňů volnosti v lázni výše uvedených rozdílných integrálních rovnic ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {R} {\ tilde {\ chi}} = {\ tilde {\ rho}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {\ rho}}} =-\ int _ {0}^{t} dt '\ operatorname {tr} _ {R} \ {[{\ tilde {H}} _ { BS} (t), [{\ tilde {H}} _ {BS} (t '), {\ tilde {\ chi}} (t')]] \}}$

Tato rovnice je přesná pro časovou dynamiku matice hustoty systému, ale vyžaduje úplné znalosti dynamiky stupňů volnosti lázně. Zjednodušující předpoklad nazvaný Bornova aproximace spočívá na velikosti lázně a relativní slabosti spojky, to znamená, že spojení systému s lázní by nemělo výrazně měnit vlastní vlastnosti lázně. V tomto případě je matice plné hustoty faktorovatelná pro všechny časy jako . Hlavní rovnice se stává ${\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (t) = {\ tilde {\ rho}} (t) R_ {0}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {\ rho}}} =-\ int _ {0}^{t} dt '\ operatorname {tr} _ {R} \ {[{\ tilde {H}} _ { BS} (t), [{\ tilde {H}} _ {BS} (t '), {\ tilde {\ rho}} (t') R_ {0}]] \}}$

Rovnice je nyní v systémových stupních volnosti explicitní, ale je velmi obtížné ji vyřešit. Konečným předpokladem je Born-Markovova aproximace, že časová derivace matice hustoty závisí pouze na jejím aktuálním stavu, nikoli na její minulosti. Tento předpoklad je platný při dynamice dynamické lázně, kde jsou korelace uvnitř lázně extrémně rychle ztraceny a jsou nahrazeny na pravé straně rovnice. ${\ Displaystyle \ rho (t ') \ rightarrow \ rho (t)}$

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {\ rho}}} =-\ int _ {0}^{t} dt '\ operatorname {tr} _ {R} \ {[{\ tilde {H}} _ { BS} (t), [{\ tilde {H}} _ {BS} (t '), {\ tilde {\ rho}} (t) R_ {0}]] \}}$

Pokud se předpokládá, že interakce má hamiltoniánskou formu

${\ Displaystyle H_ {BS} = \ sum \ alpha _ {i} \ Gamma _ {i}}$

pro provozovatele systému a provozovatele lázní se stává hlavní rovnice ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ tilde {\ rho}}} =-\ sum \ int _ {0}^{t} dt '\ operatorname {tr} _ {R} \ {[\ alpha _ {i} ( t) \ Gamma _ {i} (t), [\ alpha _ {j} (t ') \ Gamma _ {j} (t'), {\ tilde {\ rho}} (t) R_ {0}] ] \}}$

který lze rozšířit jako

${\ Displaystyle {\ dot {\ tilde {\ rho}}} =-\ sum \ int _ {0}^{t} dt '\ left (\ alpha _ {i} (t) \ alpha _ {j} ( t ') \ rho -\ alpha _ {j} (t') \ rho (t) \ alpha _ {i} (t) \ right) \ langle \ Gamma _ {i} (t) \ Gamma _ {j} (t ') \ rangle +\ left (\ rho (t) \ alpha _ {j} (t') \ alpha _ {i} (t)-\ alpha _ {i} (t) \ rho (t) \ alfa _ {j} (t ') \ right) \ langle \ Gamma _ {j} (t') \ Gamma _ {i} (t) \ rangle}$

Hodnoty očekávání jsou s ohledem na stupně volnosti lázně. Předpokládáním rychlého rozpadu těchto korelací (ideálně ) je dosaženo výše uvedené formy superoperátoru Lindblad L. ${\ Displaystyle \ langle \ Gamma _ {i} \ Gamma _ {j} \ rangle = \ operatorname {tr} \ {\ Gamma _ {i} \ Gamma _ {j} R_ {0} \}}$${\ Displaystyle \ langle \ Gamma _ {i} (t) \ Gamma _ {j} (t ') \ rangle \ propto \ delta (t-t')}$

Příklady

U jednoho operátora skoku a bez jednotné evoluce, na Lindblad superoperator , působící na matice hustoty , je ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [F] (\ rho) = {F \ rho F^{\ dagger}}-{\ frac {1} {2}} \ left (F^{\ dagger} F \ rho +\ rho F^{\ dagger} F \ right)}$

Takový termín se pravidelně vyskytuje v Lindbladově rovnici používané v kvantové optice , kde může vyjadřovat absorpci nebo emisi fotonů ze zásobníku. Pokud chce mít člověk absorpci i emise, potřeboval by pro každého skokového operátora. To vede k nejběžnější Lindbladově rovnici popisující tlumení kvantového harmonického oscilátoru (představujícího např. Dutinu Fabry -Perot ) spojeného s termální lázní , se skokovými operátory

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F_ {1} & = a, & \ gamma _ {1} & = {\ tfrac {\ gamma} {2}} \ left ({\ overline {n}}+1 \ vpravo), \\ F_ {2} & = a^{\ dagger}, & \ gamma _ {2} & = {\ tfrac {\ gamma} {2}} {\ overline {n}}. \ end {zarovnáno }}}$

Zde je průměrný počet buzení v nádrži tlumící oscilátor a γ je rychlost rozpadu. Pokud také přidáme další unitární evoluci generovanou hamiltoniánovým kvantovým harmonickým oscilátorem s frekvencí , získáme ${\ displaystyle {\ overline {n}}}$${\ displaystyle \ omega _ {c}}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} =-i [\ omega _ {c} a^{\ dagger} a, \ rho]+\ gamma _ {1} {\ mathcal {D}} [F_ {1 }] (\ rho)+\ gamma _ {2} {\ mathcal {D}} [F_ {2}] (\ rho).}$

Mohou být zahrnuty další operátory Lindblad pro modelování různých forem odfázování a vibrační relaxace. Tyto metody byly začleněny do metod šíření matice hustoty založené na mřížce .

Viz také

• Kvantová hlavní rovnice
• Redfieldova rovnice
• Otevřený kvantový systém
• Metoda kvantového skoku

Reference

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). „Stručná historie rovnice GKLS“. Otevřená dynamika systémů a informací . 24 odst. arXiv : 1710.05993 . Bibcode : 2017OSID ... 2440001C . doi : 10,1142/S1230161217400017 . S2CID  90357 .
• Kossakowski, A. (1972). „O kvantové statistické mechanice nehamiltonovských systémů“. Zástupce matematiky Fyz . 3 (4): 247. Bibcode : 1972RpMP .... 3..247K . doi : 10,1016/0034-4877 (72) 90010-9 .
• Belavin, AA; Zel'dovich, B. Ya .; Perelomov, AM; Popov, VS (1969). „Relaxace kvantových systémů s ekvidistantními spektry“ . JETP . 29 : 145. Bibcode : 1969JETP ... 29..145B .
• Lindblad, G. (1976). „O generátorech kvantových dynamických poloskupin“ . Komun. Matematika. Fyz . 48 (2): 119. Bibcode : 1976CMaPh..48..119L . doi : 10,1007/BF01608499 . S2CID  55220796 .
• Gorini, V .; Kossakowski, A .; Sudarshan, EKG (1976). „Zcela pozitivní dynamické poloskupiny systémů na úrovni N“. J. Math. Fyz . 17 (5): 821. Bibcode : 1976JMP .... 17..821G . doi : 10,1063/1,522979 .
• Banks, T .; Susskind, L .; Peskin, ME (1984). „Obtíže při vývoji čistých stavů na smíšené“. Nuclear Physics B . 244 (1): 125–134. Bibcode : 1984 NuPhB.244..125B . doi : 10,1016/0550-3213 (84) 90184-6 . OSTI  1447054 .
• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Volovich, IV (2002). Kvantová teorie a její stochastický limit . New York: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Alicki, Robert (2002). „Pozvánka do kvantových dynamických poloskupin“. Dynamika rozptylu . Přednášky z fyziky. 597 : 239. arXiv : quant-ph/0205188 . Bibcode : 2002LNP ... 597..239A . doi : 10,1007/3-540-46122-1_10 . ISBN 978-3-540-44111-3. S2CID  118089738 .
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Kvantové dynamické poloskupiny a aplikace . Berlín: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pilulka, Claude-Alain (2006). Otevřené kvantové systémy II: Markovianský přístup . Springer. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Gardiner, CW; Zoller, Peter (2010). Kvantový šum . Springer Series v synergii (3. ed.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ingarden, Roman S .; Kossakowski, A .; Ohya, M. (1997). Informační dynamika a otevřené systémy: klasický a kvantový přístup . New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• Tarasov, Vasily E. (2008). Kvantová mechanika nehamiltonovských a disipativních systémů . Amsterdam, Boston, Londýn, New York: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Pearle, P. (2012). „Jednoduché odvození Lindbladovy rovnice“. European Journal of Physics , 33 (4), 805.

externí odkazy

• Sada nástrojů pro kvantovou optiku pro Matlab
• mcsolve Řešitel kvantového skoku (monte carlo) od QuTiP.
• QuantumOptics.jl sada nástrojů kvantové optiky v Julii.
• Lindbladova hlavní rovnice