Integrální geometrie - Integral geometry

V matematice je integrální geometrie teorie opatření na geometrickém prostoru neměnném pod skupinou symetrie tohoto prostoru. V novější době byl význam rozšířen tak, aby zahrnoval pohled na invariantní (nebo ekvivariantní ) transformace z prostoru funkcí na jednom geometrickém prostoru do prostoru funkcí v jiném geometrickém prostoru. Takové transformace mají často formu integrálních transformací , jako je Radonova transformace a její generalizace.

Klasický kontext

Integrální geometrie jako taková se poprvé objevila jako pokus o upřesnění určitých tvrzení z geometrické teorie pravděpodobnosti . Rané dílo Luise Santalóa a Wilhelma Blaschkeho bylo v této souvislosti. Vyplývá to z klasické Croftonovy věty vyjadřující délku rovinné křivky jako očekávání počtu průniků s náhodnou přímkou. Zde musí být slovo „náhodný“ interpretováno jako předmětem správných úvah o symetrii.

Existuje ukázkový prostor čar, na který působí afinní skupina roviny. V tomto prostoru se hledá míra pravděpodobnosti , neměnná pod skupinou symetrie. Pokud, jako v tomto případě, můžeme najít jedinečnou takovou invariantní míru, pak to vyřeší problém s přesným formulováním toho, co znamená 'náhodná čára' a očekávání se stanou integrály s ohledem na tuto míru. (Všimněte si například, že frázi „náhodný akord kruhu“ lze použít ke konstrukci některých paradoxů - například Bertrandova paradoxu .)

Lze tedy říci, že integrální geometrie v tomto smyslu je aplikace teorie pravděpodobnosti (jako axiomatized od Kolmogorov ) v rámci programu Erlangen z Klein . Obsah teorie je efektivně, že invariantních (hladký) opatření o (s výhodou kompaktní ) homogenních prostorech z Lieových skupin ; a hodnocení integrálů diferenciálních forem .

Velmi oslavovaným případem je problém Buffonovy jehly : upustit jehlu na podlahu z prken a vypočítat pravděpodobnost, že se jehla dostane přes prasklinu. Zobecněním je tato teorie aplikována na různé stochastické procesy zabývající se geometrickými a incidenčními otázkami. Viz stochastická geometrie .

Jednou z nejzajímavějších vět v této formě integrální geometrie je Hadwigerova věta v euklidovském prostředí. Následně byly v různých prostředích, zejména v hermitovské geometrii, stanoveny věty Hadwigerova typu, a to pomocí pokročilých nástrojů z teorie oceňování .

Novější význam integrální geometrie je Sigurdur Helgason a Israel Gelfand . Konkrétněji se zabývá integrálními transformacemi po vzoru radonové transformace . Zde je základní geometrický vztah dopadu (body ležící na přímkách, v případě Croftona) viděn ve volnějším světle, jako místo pro integrální transformaci složené jako zpětný tah na graf výskytu a poté tlačení vpřed .

Poznámky

Reference