Explicitní a implicitní metody - Explicit and implicit methods

Explicitní a implicitní metody jsou postupy používané v numerické analýze pro získání numerické aproximace řešení časově závislých obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic , jak je požadováno v počítačové simulace z fyzikálních procesů . Explicitní metody vypočítávají stav systému v pozdější době ze stavu systému v aktuálním čase, zatímco implicitní metody nacházejí řešení řešením rovnice zahrnující jak aktuální stav systému, tak i ten pozdější. Matematicky, pokud je aktuální stav systému a je stav v pozdější době ( je to malý časový krok), pak pro explicitní metodu ${\ Displaystyle Y (t)}$${\ Displaystyle Y (t+\ Delta t)}$${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ Displaystyle Y (t+\ Delta t) = F (Y (t)) \,}$

zatímco u implicitní metody se řeší rovnice

${\ Displaystyle G {\ Big (} Y (t), Y (t+\ Delta t) {\ Big)} = 0 \ qquad (1) \,}$

najít ${\ Displaystyle Y (t+\ Delta t).}$

Implicitní metody vyžadují další výpočet (řešení výše uvedené rovnice) a jejich implementace může být mnohem obtížnější. Používají se implicitní metody, protože mnoho problémů vznikajících v praxi je tuhých , u nichž použití explicitní metody vyžaduje neprakticky malé časové kroky , aby byla chyba ve výsledku ohraničena (viz numerická stabilita ). U takovýchto problémů k dosažení dané přesnosti zabere použití implicitní metody s většími časovými kroky mnohem méně výpočetního času, a to i s přihlédnutím k tomu, že je třeba vyřešit rovnici tvaru (1) v každém časovém kroku. To znamená, zda je třeba použít explicitní nebo implicitní metodu, závisí na problému, který má být vyřešen. ${\ displaystyle \ Delta t}$

Protože implicitní metodu nelze provést pro každý druh diferenciálního operátoru, někdy je vhodné použít takzvanou metodu rozdělení operátorů, což znamená, že diferenciální operátor je přepsán jako součet dvou komplementárních operátorů

${\ Displaystyle Y (t+\ Delta t) = F (Y (t+\ Delta t))+G (Y (t)), \,}$

přičemž s jedním se zachází výslovně a s druhým implicitně. Pro běžné aplikace je implicitní termín vybrán jako lineární, zatímco explicitní termín může být nelineární. Tato kombinace předchozí metody se nazývá Implicitně-explicitní metoda (krátký IMEX,).

Ilustrace pomocí Eulerových metod vpřed a vzad

Zvažte obyčejnou diferenciální rovnici

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} =-y^{2}, \ t \ in [0, a] \ quad \ quad (2)}$

s počáteční podmínkou Uvažujme mřížku pro 0 ≤  k  ≤  n , to znamená, že časový krok je a značí pro každý . Diskretizujte tuto rovnici pomocí nejjednodušších explicitních a implicitních metod, kterými jsou dopředné Eulerovy a zpětné Eulerovy metody (viz numerické obyčejné diferenciální rovnice ) a porovnejte získané schémata. ${\ displaystyle y (0) = 1.}$${\ displaystyle t_ {k} = a {\ frac {k} {n}}}$${\ displaystyle \ Delta t = a/n,}$${\ displaystyle y_ {k} = y (t_ {k})}$${\ displaystyle k}$

Forward Eulerova metoda

Výsledek aplikace různých integračních metod na ODE: s .${\ Displaystyle y '=-y^{2}, \; t \ in [0,5], \; y_ {0} = 1}$${\ Displaystyle \ Delta t = 5/10}$

Forward Eulerova metoda

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) _ {k} \ cca {\ frac {y_ {k+1} -y_ {k}} {\ Delta t}} =-y_ {k}^{2}}$

výnosy

${\ Displaystyle y_ {k+1} = y_ {k}-\ Delta ty_ {k}^{2} \ quad \ quad \ quad (3) \,}$

pro každý Toto je explicitní vzorec pro . ${\ Displaystyle k = 0,1, \ tečky, n.}$${\ displaystyle y_ {k+1}}$

Zpětná Eulerova metoda

Se zpětnou Eulerovou metodou

${\ displaystyle {\ frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {\ Delta t}} = - y_ {k + 1} ^ {2}}$

člověk najde implicitní rovnici

${\ Displaystyle y_ {k+1}+\ Delta ty_ {k+1}^{2} = y_ {k}}$

pro (porovnejte to se vzorcem (3), kde byl v rovnici uveden výslovně spíše než jako neznámý). ${\ displaystyle y_ {k+1}}$${\ displaystyle y_ {k+1}}$

Toto je kvadratická rovnice , která má jeden negativní a jeden kladný kořen . Kladný kořen je vybrán, protože v původní rovnici je počáteční podmínka kladná, a pak v dalším časovém kroku je dán symbolem ${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle y_ {k+1} = {\ frac {-1+{\ sqrt {1+4 \ Delta ty_ {k}}}} {2 \ Delta t}}. \ quad \ quad (4)}$

V naprosté většině případů je rovnice, která se má vyřešit při použití implicitního schématu, mnohem komplikovanější než kvadratická rovnice a neexistuje žádné analytické řešení. Potom se k nalezení numerického řešení používají algoritmy pro hledání kořenů , jako je Newtonova metoda .

Klika Nicolsonova metoda

S metodou Crank, Nicolson

${\ displaystyle {\ frac {y_ {k+1} -y_ {k}} {\ Delta t}} =-{\ frac {1} {2}} y_ {k+1}^{2}-{\ frac {1} {2}} y_ {k}^{2}}$

člověk najde implicitní rovnici

${\ Displaystyle y_ {k+1}+{\ frac {1} {2}} \ Delta ty_ {k+1}^{2} = y_ {k}-{\ frac {1} {2}} \ Delta ty_ {k}^{2}}$

pro (porovnejte to se vzorcem (3), kde byl v rovnici uveden výslovně spíše než jako neznámý). To lze numericky vyřešit pomocí algoritmů pro hledání kořenů , jako je například Newtonova metoda , k získání . ${\ displaystyle y_ {k+1}}$${\ displaystyle y_ {k+1}}$${\ displaystyle y_ {k+1}}$

Crank Nicolson lze považovat za formu obecnějších schémat IMEX ( Im plicit- Ex plicit ).

Metoda dopředu-dozadu Euler

Výsledek použití metody Forward Euler i metody Forward-Backward Euler pro a .${\ displaystyle a = 5}$${\ displaystyle n = 30}$

Chcete-li použít schéma IMEX, zvažte mírně odlišnou diferenciální rovnici:

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = yy^{2}, \ t \ in [0, a] \ quad \ quad (5)}$

Z toho vyplývá, že

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) _ {k} \ zhruba y_ {k+1} -y_ {k}^{2}, \ t \ v [0, a] }$

a proto

${\ Displaystyle y_ {k+1} = {\ frac {y_ {k} (1-y_ {k} \ Delta t)} {1- \ Delta t}} \ quad \ quad (6)}$

pro každého ${\ Displaystyle k = 0,1, \ tečky, n.}$

Viz také

• Courant – Friedrichs – Lewy stav
• JEDNODUCHÝ algoritmus , napůl implicitní metoda pro rovnice spojené s tlakem

Zdroje