Heston model - Heston model

V oblasti financí se Heston modelu , pojmenoval Steven L. Heston , je matematický model , který popisuje vývoj volatility o o podkladového aktiva. Jedná se o stochastický model volatility : takový model předpokládá, že volatilita aktiva není konstantní nebo dokonce deterministická, ale sleduje náhodný proces .

Základní model Heston

Základní Hestonův model předpokládá, že S _t , cena aktiva, je určena stochastickým procesem,

${\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + {\ sqrt {\ nu _ {t}}} S_ {t} \, dW_ {t} ^ {S},}$

kde okamžitá odchylka je dána Fellerovou druhou odmocninou nebo CIR procesem , ${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

${\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ kappa (\ theta - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi {\ sqrt {\ nu _ {t}}} \, dW_ {t} ^ {\ nu},}$

a jsou to Wienerovy procesy (tj. kontinuální náhodné procházky) s korelací ρ. ${\ displaystyle W_ {t} ^ {S}, W_ {t} ^ {\ nu}}$

Model má pět parametrů:

• ${\ displaystyle \ nu _ {0}}$, počáteční volatilita.
• ${\ displaystyle \ theta}$, dlouhodobý rozptyl nebo dlouhodobý průměrný rozptyl ceny; protože t má tendenci k nekonečnu, očekávaná hodnota ν _t má tendenci k θ.
• ${\ displaystyle \ rho}$, korelace dvou Wienerových procesů .
• ${\ displaystyle \ kappa}$, rychlost, při které se ν _t vrátí na θ.
• ${\ displaystyle \ xi}$, volatilita volatility, neboli „objem vol“, který určuje rozptyl ν _t .

Pokud parametry splňují následující podmínku (známou jako Fellerova podmínka), je proces přísně pozitivní ${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

${\ displaystyle 2 \ kappa \ theta> \ xi ^ {2}.}$

Rizikově neutrální opatření

Celý článek viz Opatření neutrální vůči riziku

Základní koncepcí v oblasti stanovení cen derivátů je opatření neutrální vůči riziku ; to je podrobněji vysvětleno ve výše uvedeném článku. Pro naše účely stačí poznamenat následující:

1. Při oceňování derivátu, jehož výplata je funkcí jednoho nebo více podkladových aktiv, vyhodnotíme očekávanou hodnotu jeho diskontované výplaty na základě rizika neutrálního opatření.
2. Rizikově neutrální opatření, známé také jako rovnocenné martingale opatření, je takové, které je rovnocenné s opatřením v reálném světě, a které je bez arbitráže: podle takového opatření je diskontovaná cena každého z podkladových aktiv martingale . Viz Girsanovova věta .
3. V rámci Black-Scholes a Heston (kde jsou filtrace generovány pouze lineárně nezávislou sadou Wienerových procesů) lze jakékoli ekvivalentní opatření popsat ve velmi volném smyslu přidáním driftu ke každému z Wienerových procesů.
4. Výběrem určitých hodnot pro výše popsané závěje můžeme získat ekvivalentní míru, která splňuje podmínku bez arbitráže.

Zvažte obecnou situaci, kdy máme podkladová aktiva a lineárně nezávislou sadu Wienerových procesů. Sada ekvivalentních měr je izomorfní s R ^m , prostor možných driftů. Uvažujme, že množina ekvivalentních martingalových měr je izomorfní s varietou vloženou do R ^m ; zpočátku zvažte situaci, kdy nemáme žádný majetek a je izomorfní s R ^m . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Nyní zvažte každé z podkladových aktiv jako opatření omezující soubor ekvivalentních opatření, protože jeho očekávaný proces slev se musí rovnat konstantě (jmenovitě jeho počáteční hodnotě). Přidáním jednoho díla najednou můžeme považovat každé další omezení za zmenšení dimenze o jednu dimenzi. Vidíme tedy, že v obecné situaci popsané výše je rozměr sady ekvivalentních martingalových měr . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle mn}$

V modelu Black-Scholes máme jedno aktivum a jeden proces Wiener. Rozměr sady ekvivalentních martingalových měr je nulový; lze tedy ukázat, že pro drift existuje jediná hodnota, a tedy jediné riziko neutrální opatření, podle kterého bude diskontované aktivum martingale. ${\ displaystyle e ^ {- \ rho t} S_ {t}}$

V Hestonově modelu stále máme jedno aktivum (volatilita se nepovažuje za přímo pozorovatelnou nebo obchodovatelnou na trhu), ale nyní máme dva Wienerovy procesy - první ve stochastické diferenciální rovnici (SDE) pro aktivum a druhý v SDE pro stochastickou volatilitu. Zde je rozměr sady ekvivalentních martingalových měr jeden; neexistuje žádné jedinečné opatření bez rizika.

To je samozřejmě problematické; i když teoreticky lze k ocenění derivátu použít kterékoli z bezrizikových opatření, je pravděpodobné, že každé z nich dá jinou cenu. Teoreticky by však pouze jedno z těchto bezrizikových opatření bylo slučitelné s tržními cenami opcí závislých na volatilitě (například evropské hovory, nebo přesněji rozptylové swapy ). Proto bychom mohli přidat aktivum závislé na volatilitě; tím přidáváme další omezení a volíme tak jedno bezrizikové opatření, které je kompatibilní s trhem. Toto opatření lze použít pro stanovení cen.

Implementace

• Využití možností Fourierovy transformace na hodnotu ukázali Carr a Madan.

• Diskuse o implementaci Hestonova modelu přednesli Kahl a Jäckel.

• Benhamou et al. Představili odvození cen opcí uzavřené formy pro časově závislý Hestonův model.

• Odvození uzavřených opčních cen pro dvojitý Hestonův model uvedli Christoffersen et al. a Gauthier a Possamai.

• Grzelak a Oosterlee rozšířili Hestonův model o stochastické úrokové sazby.

• Cui et al. Představili výraz charakteristické funkce Hestonova modelu, který je numericky spojitý a snadno diferencovatelný s ohledem na parametry.

• Použití modelu v kontextu místní stochastické volatility uvedl Van Der Weijst.

• Kouritzin vyvinul explicitní řešení Hestonovy cenové rovnice z hlediska volatility. To lze kombinovat se známými slabými řešeními pro rovnici těkavosti a Girsanovovou větou za vzniku explicitních slabých řešení Hestonova modelu. Taková řešení jsou užitečná pro efektivní simulaci.

• Vysoce přesné referenční ceny jsou k dispozici v blogovém příspěvku Alana Lewise.

• Existuje několik známých parametrizací povrchu těkavosti založených na Hestonově modelu (Schonbusher, SVI a gSVI).

Kalibrace

Kalibrace Hestonova modelu je často formulována jako problém nejmenších čtverců , přičemž objektivní funkce minimalizuje čtvercový rozdíl mezi cenami pozorovanými na trhu a cenami vypočítanými z modelu.

Ceny jsou obvykle ceny vanilkových opcí. Někdy je model také kalibrován na termínovou strukturu rozptylu swapu jako v Guillaume a Schoutens. Ještě dalším přístupem je zahrnout možnosti startu vpřed nebo také bariéry, aby se zachytil úsměv vpřed.

Podle modelu Heston je cena vanilkových opcí uvedena analyticky, ale k výpočtu integrálu vyžaduje numerickou metodu. Le Floc'h shrnul různé použité kvadratury a navrhl efektivní adaptivní Filonovu kvadraturu.

Kalibrace obvykle vyžaduje gradient objektivní funkce s ohledem na parametry modelu. To se obvykle počítalo s konečnou diferenční aproximací, i když je méně přesné, méně efektivní a méně elegantní než analytický gradient, protože jeho bystrý výraz byl k dispozici pouze tehdy, když Cui et al. Představili novou reprezentaci charakteristické funkce. v roce 2017. Další možností je uchýlit se k automatické diferenciaci . Například tangenciální režim algoritmické diferenciace lze přímo použít pomocí duálních čísel .

Viz také

• Stochastická volatilita
• Rizikově neutrální opatření (jiný název pro ekvivalentní martingale opatření)
• Girsanovova věta
• Martingale (teorie pravděpodobnosti)
• Model volatility SABR
• Kód MATLAB pro implementaci Kahl, Jäckel a Lord

Reference

• Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andrew (2013). „De-arbitraging se slabým úsměvem: Žádost o zkreslení rizika“. Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi : 10,1002 / wilm.10201 .