Galton – Watsonův proces - Galton–Watson process

Galton – Watsonova pravděpodobnost přežití pro různé exponenciální míry růstu populace, pokud lze předpokládat, že počet dětí v každém rodičovském uzlu odpovídá Poissonově distribuci . Pro λ  ≤ 1 dojde k případnému vyhynutí s pravděpodobností 1. Pravděpodobnost přežití nového typu však může být poměrně nízká, i když λ  > 1 a populace jako celek zažívá poměrně silný exponenciální nárůst .

Proces Galton-Watson je větvení stochastický proces vyplývající z Francis Galton ‚s statistického zkoumání zániku příjmení . Proces modeluje příjmení jako patrilineální (předává se z otce na syna), zatímco potomci jsou náhodně buď muži nebo ženy, a jména vymírají, pokud rodová příjmová linie vymře (držitelé příjmení umírají bez mužských potomků). Toto je přesný popis chromozomu Y přenosu v genetice, a model je tedy užitečné pro pochopení lidské Y chromozom DNA haploskupin . Podobně, protože mitochondrie jsou zděděny pouze na mateřské linii, stejná matematická formulace popisuje přenos mitochondrií. Vzorec má omezenou užitečnost v chápání skutečných distribucí příjmení, protože v praxi se příjmení mění z mnoha dalších důvodů a vymření jména je pouze jedním z faktorů.

Dějiny

Mezi viktoriány panovaly obavy, že aristokratická příjmení vymírají. Galton původně položil matematickou otázku ohledně distribuce příjmení v idealizované populaci v čísle The Educational Times z roku 1873 a reverend Henry William Watson odpověděl řešením. Společně pak sepsali článek z roku 1874 s názvem „O pravděpodobnosti zániku rodin“ do Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland (nyní Journal of the Royal Anthropological Institute ). Zdá se, že Galton a Watson odvodili svůj postup nezávisle na dřívější práci IJ Bienaymé ; viz Heyde a Seneta 1977. Podrobnou historii najdete v Kendall (1966 a 1975).

Pojmy

Předpokládejme kvůli modelu, že příjmení předává všem mužským dětem jejich otec. Předpokládejme, že počet mužových synů je náhodná proměnná rozložená na množině {0, 1, 2, 3, ...}. Dále předpokládejme, že počty synů různých mužů jsou nezávislé náhodné proměnné, které mají všechny stejné rozdělení.

Pak nejjednodušším podstatným matematickým závěrem je, že pokud je průměrný počet synů muže 1 nebo méně, pak jejich příjmení téměř jistě vymře, a pokud je více než 1, pak je pravděpodobnost, že přežije, více než nulová libovolný počet generací.

Moderní aplikace zahrnují pravděpodobnosti přežití pro nové mutanty genu nebo pro zahájení jaderné řetězové reakce nebo dynamiku propuknutí onemocnění v prvních generací šíření nebo pravděpodobnost zániku malé populace z organismů ; stejně jako vysvětlení (možná nejblíže původnímu Galtonovu zájmu), proč jen hrstka mužů v hluboké minulosti lidstva nyní má nějaké přežívající potomky mužské linie, což se odráží v poměrně malém počtu výrazných haploskupin lidské Y-chromozomové DNA .

Důsledkem vysokých zániku pravděpodobností je, že v případě, že počet řádků je přežil, je pravděpodobné, že zažili, čistě náhodou, neobvykle vysokým tempem růstu v jeho raných generací alespoň ve srovnání se zbytkem populace.

Matematická definice

Galton – Watsonův proces je stochastický proces { X _n }, který se vyvíjí podle vzorce pro opakování X ₀ = 1 a

${\ Displaystyle X_ {n+1} = \ sum _ {j = 1}^{X_ {n}} \ xi _ {j}^{(n)}}$

kde je sada nezávislých a identicky rozložených náhodných proměnných s přirozeným číslem. ${\ Displaystyle \ {\ xi _ {j}^{(n)}: n, j \ in \ mathbb {N} \}}$

V analogii s příjmeními, X _n může být myšlenka jako počet potomků (po mužské linii) v n -té generace, a může být myšlenka jako počet (male) dětí z j th těchto potomků . Relace recidivy uvádí, že počet potomků v n +1. generaci je součet počtu dětí tohoto potomka za všechny potomky n. Generace. ${\ Displaystyle \ xi _ {j}^{(n)}}$

Pravděpodobnost zániku (tj. Pravděpodobnost konečného zániku) je dána vztahem

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Pr (X_ {n} = 0). \,}$

To se jasně rovná nule, pokud má každý člen populace přesně jednoho potomka. Vyloučením tohoto případu (obvykle nazývaného triviální případ) existuje jednoduchá nezbytná a dostatečná podmínka, která je uvedena v následující části.

Kritérium zániku pro Galton – Watsonův proces

V netriviálním případě je pravděpodobnost konečného vyhynutí rovna 1, pokud E { ξ ₁ } ≤ 1 a přísně menší než 1, pokud E { ξ ₁ }> 1.

Proces lze zpracovat analyticky pomocí metody funkcí generujících pravděpodobnost .

Pokud počet dětí ξ _j v každém uzlu následuje Poissonovu distribuci s parametrem λ, lze pro celkovou pravděpodobnost zániku x _n pro proces začínající jediným jedincem v čase n  = 0 najít obzvláště jednoduchou recidivu  :

${\ Displaystyle x_ {n+1} = e^{\ lambda (x_ {n} -1)}, \,}$

dávat výše uvedené křivky.

Bisexuální Galton – Watsonův proces

V klasickém rodinném příjmení Galton -Watsonově postupu popsaném výše je třeba brát v úvahu pouze muže, protože pouze muži předávají své příjmení potomkům. To efektivně znamená, že reprodukci lze modelovat jako asexuální. (Podobně je -li analyzován mitochondriální přenos, je třeba vzít v úvahu pouze ženy, protože pouze ženy přenášejí své mitochondrie na potomky.)

Model blíže sledující skutečnou sexuální reprodukci je takzvaný „bisexuální Galton – Watsonův proces“, kde se reprodukují pouze páry. ( Bisexuální v tomto kontextu označuje počet zapojených pohlaví, nikoli sexuální orientaci .) V tomto procesu je každé dítě považováno za muže nebo ženu, nezávisle na sobě, se specifikovanou pravděpodobností a s takzvanou „párovací funkcí“ určuje, kolik párů se vytvoří v dané generaci. Stejně jako dříve je reprodukce různých párů považována za nezávislou na sobě. Nyní analog triviálního případu odpovídá případu, kdy se každý muž a žena rozmnožují přesně v jednom páru s jedním mužským a jedním ženským potomkem a že funkce páření nabývá hodnoty minima počtu samců a samic (což jsou pak od příští generace stejné).

Protože celková reprodukce v rámci generace nyní silně závisí na párovací funkci, neexistuje obecně žádná jednoduchá nezbytná a dostatečná podmínka pro konečné vyhynutí, jako je tomu v případě klasického Galton -Watsonova procesu. S výjimkou netriviálního případu však koncept průměrného reprodukčního průměru (Bruss (1984)) umožňuje obecnou dostatečnou podmínku pro konečné vyhynutí, o níž pojednává následující část.

Kritérium zániku

Pokud v netriviálním případě zůstane průměrný průměr reprodukce na pár omezený po všechny generace a nepřesáhne 1 pro dostatečně velkou velikost populace, pak je pravděpodobnost konečného vyhynutí vždy 1.

Příklady

Citování historických příkladů Galton -Watsonova procesu je komplikované kvůli historii příjmení, která se často výrazně odchyluje od teoretického modelu. Je pozoruhodné, že lze vytvářet nová jména, stávající jména lze měnit po celý život člověka a lidé historicky často přijímali jména nepříbuzných osob, zejména šlechty. Malý počet příjmení v současné době tedy sám o sobě není důkazem toho, že jména časem vyhynula, nebo že tak učinili v důsledku vymírání rodových linií - to vyžaduje, aby v minulosti existovalo více jmen a aby vymírají kvůli vymírající linii, než aby se jméno měnilo z jiných důvodů, jako například vazali převzali jméno svého pána.

Čínská jména jsou dobře studovaným příkladem vyhynutí příjmení: v současné době se v Číně používá jen asi 3 100 příjmení, ve srovnání s téměř 12 000 zaznamenanými v minulosti, přičemž 22% populace sdílí jména Li , Wang a Zhang (číslování téměř 300 milionů lidí) a 200 nejlepších jmen pokrývajících 96% populace. Jména se změnila nebo vyhynula z různých důvodů, jako jsou lidé, kteří berou jména svých vládců, ortografická zjednodušení, tabu proti používání znaků z císařova jména , mimo jiné. Přestože vymírající se příjmení může být faktorem vyhynutí příjmení, není to v žádném případě jediný nebo dokonce významný faktor. Skutečně nejvýznamnějším faktorem ovlivňujícím četnost příjmení jsou další etnické skupiny identifikující se jako Han a přijímající Hanská jména. Kromě toho, i když z různých důvodů vznikala nová jména, byla tato skutečnost převážena tím, že zmizela stará jména.

Některé národy naopak přijaly příjmení teprve nedávno. To znamená, že nezažili vyhynutí příjmení delší dobu, a že jména byla přijata, když národ měl relativně velkou populaci, spíše než menší populace starověku. Tato jména byla navíc často vybírána kreativně a jsou velmi různorodá. Mezi příklady patří:

• Japonská jména , která se obecně používají pouze k restaurování Meiji na konci 19. století (kdy měla populace přes 30 000 000), mají přes 100 000 příjmení, příjmení jsou velmi rozmanitá a vláda omezuje manželské páry na používání stejného příjmení.
• Mnoho holandských jmen zahrnovalo formální příjmení pouze od napoleonských válek na počátku 19. století. Dříve příjmení pocházela z patronymů (např. Jansen = Johnův syn), osobních vlastností (např. De Rijke = bohatý), geografických lokalit (např. Van Rotterdam) a povolání (např. Visser = rybář), někdy dokonce kombinované (např. Jan Jansz van Rotterdam, 1640-1704). Existuje více než 68 000 holandských příjmení.
• Thajská jména obsahují příjmení pouze od roku 1920 a dané příjmení může používat pouze jedna rodina; proto existuje velké množství thajských jmen. Thajci navíc s určitou frekvencí mění příjmení, což komplikuje analýzu.

Na druhou stranu některé příklady vysoké koncentrace příjmení nejsou primárně způsobeny Galton -Watsonovým procesem:

• Vietnamská jména mají asi 100 příjmení a 60% populace sdílí tři příjmení. Odhaduje se, že samotný název Nguyễn používá téměř 40% vietnamské populace a 90% sdílí 15 jmen. Jak však historie jména Nguyễn objasňuje, není to v žádném případě způsobeno tím, že jsou lidem vnucována jména nebo přijímána z důvodů nesouvisejících s genetickým vztahem.

Viz také

• Proces větvení
• Proces větvení závislý na prostředcích
• Kolaps rodokmenu

Reference

Další čtení

externí odkazy

• „Přežití jediného mutanta“ od Petera M. Lee z University of York
• Jednoduchý Galton-Watsonův proces: Klasický přístup , University of Muenster