Asymptotická expanze - Asymptotic expansion

V matematice je asymptotická expanze , asymptotická řada nebo Poincaréova expanze (po Henri Poincaré ) formální řada funkcí, která má tu vlastnost, že zkrácení řady po konečném počtu termínů poskytuje aproximaci dané funkce jako argument funkce inklinuje k určitému, často nekonečnému bodu. Vyšetřování Dingleho (1973) odhalilo, že divergentní část asymptotické expanze je latentně smysluplná, tj. Obsahuje informace o přesné hodnotě rozšířené funkce.

Nejběžnějším typem asymptotické expanze je silová řada v kladných i záporných silách. Metody generování takových expanzí zahrnují Euler-Maclaurinův součtový vzorec a integrální transformace, jako jsou Laplaceova a Mellinova transformace. Opakovaná integrace po částech často povede k asymptotické expanzi.

Protože konvergentní Taylorova řada odpovídá definici asymptotické expanze také, výraz „asymptotická řada“ obvykle implikuje nekonvergentní řadu. Navzdory nekonvergenci je asymptotická expanze užitečná, když je zkrácena na konečný počet termínů. Aproximace může přinést výhody tím, že je matematicky přijatelnější než rozšířená funkce, nebo zvýšením rychlosti výpočtu rozšířené funkce. Nejlepší aproximace se obvykle udává, když je řada zkrácena na nejmenší člen. Tento způsob optimálního zkrácení asymptotické expanze je známý jako superasymptotika . Chyba je pak typicky ve tvaru ~ exp (- c / ε), kde ε je parametr expanze. Chyba je tedy mimo všechny objednávky v parametru rozšíření. Superasymptotickou chybu je možné vylepšit, např. Použitím resummatických metod, jako je Borelův resummation k divergentnímu ocasu. Takové metody se často označují jako hyperasymptotické aproximace .

Viz asymptotická analýza a velká O notace pro notaci použitou v tomto článku.

Formální definice

Nejprve definujeme asymptotickou stupnici a poté dáme formální definici asymptotické expanze.

Pokud je posloupnost spojitých funkcí na nějaké doméně a pokud L je mezní bod domény, pak sekvence představuje asymptotickou stupnici, pokud pro každé n , ${\ displaystyle \ varphi _ {n}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {n + 1} (x) = o (\ varphi _ {n} (x)) \ (x \ až L).}$

( L lze považovat za nekonečno.) Jinými slovy, posloupnost funkcí je asymptotická stupnice, pokud každá funkce v posloupnosti roste přísně pomaleji (v limitu ) než předchozí funkce. ${\ displaystyle x \ do L}$

Pokud je f spojitá funkce na doméně asymptotické stupnice, pak f má asymptotickou expanzi řádu N vzhledem k stupnici jako formální řadě

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)}$

-li

${\ displaystyle f (x) - \ součet _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) = O (\ varphi _ {N} (x)) \ ( x \ do L)}$

nebo

${\ displaystyle f (x) - \ součet _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) = o (\ varphi _ {N-1} (x)) \ (x \ do L).}$

Pokud jeden nebo druhý platí pro všechna N , pak píšeme

${\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) \ (x \ až L).}$

Na rozdíl od konvergentní řady pro , kde řada konverguje pro jakoukoli pevnou v limitu , lze asymptotickou řadu považovat za konvergující pro pevnou v limitu (s možná nekonečnou). ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle N \ až \ infty}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x \ do L}$${\ displaystyle L}$

Příklady

Grafy absolutní hodnoty zlomkové chyby v asymptotické expanzi funkce gama (vlevo). Horizontální osa je počet členů v asymptotické expanzi. Modré body jsou pro x  = 2 a červené body jsou pro x  = 3 . Je vidět, že s nejmenší chybou se setkáme, když existuje 14 výrazů pro x  = 2 a 20 výrazů pro x  = 3 , za kterými se chyba odchyluje.

• Funkce gama

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ gama (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x }} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}$

• Exponenciální integrál

${\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} \ (x \ do \ infty)}$

• Logaritmický integrál

${\ displaystyle \ operatorname {li} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x ) ^ {k}}}}$

• Funkce Riemann zeta

${\ displaystyle \ zeta (s) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- s} - {\ frac {N ^ {1-s}} {s-1}} - {\ frac {N ^ {- s}} {2}} + N ^ {- s} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2m} s ^ {\ overline {2m-1 }}} {(2 m)! N ^ {2m-1}}}}$

kde jsou Bernoulliho čísla a je rostoucí faktoriál . Tato expanze je platná pro všechny komplexní s a je často používán pro výpočet zeta funkci pomocí dostatečně velkou hodnotu N , např . ${\ displaystyle B_ {2m}}$${\ displaystyle s ^ {\ overline {2m-1}}}$${\ displaystyle N> | s |}$

• Chybová funkce

${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) \ sim 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}$

kde (2 n  - 1) !! je dvojitý faktoriál .

Pracoval příklad

Asymptotické expanze se často vyskytují, když je obyčejná řada použita ve formálním výrazu, který nutí přijímat hodnoty mimo její doménu konvergence . Například lze začít s běžnou sérií

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-w}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} w ^ {n}.}$

Výraz vlevo je platný v celé komplexní rovině , zatímco pravá strana konverguje pouze pro . Vynásobením a integrací obou stran získáte výnosy ${\ displaystyle w \ neq 1}$${\ displaystyle | w | <1}$${\ displaystyle e ^ {- w / t}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w}} \, dw = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du,}$

po střídání na pravé straně. Integrál na levé straně, chápaný jako Cauchyova hlavní hodnota , lze vyjádřit pomocí exponenciálního integrálu . Integrál na pravé straně lze rozpoznat jako funkci gama . Vyhodnocením obou získáme asymptotickou expanzi ${\ displaystyle u = w / t}$

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} n! t ^ {n + 1}.}$

Pravá strana zde zjevně není konvergentní pro jakoukoli nenulovou hodnotu t . Zkrácením řady napravo od konečného počtu členů však lze získat poměrně dobrou aproximaci hodnoty pro dostatečně malé t . Nahrazení a konstatování, že výsledkem je asymptotická expanze uvedená výše v tomto článku. ${\ displaystyle \ operatorname {Ei} \ doleva ({\ tfrac {1} {t}} \ doprava)}$${\ displaystyle x = - {\ tfrac {1} {t}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$

Vlastnosti

Jedinečnost pro danou asymptotickou stupnici

Pro danou asymptotickou stupnici je asymptotická expanze funkce jedinečná. To znamená, že koeficienty jsou jednoznačně určeny následujícím způsobem: ${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} (x) \}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {0} & = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x)} {\ varphi _ {0} (x)}} \\ a_ {1 } & = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) -a_ {0} \ varphi _ {0} (x)} {\ varphi _ {1} (x)}} \\ & \ \ vdots \\ a_ {N} & = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)} {\ varphi _ {N} (x)}} \ end {zarovnáno}}}$

kde je mezní bod této asymptotické expanze (může být ). ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ pm \ infty}$

Nejedinečnost pro danou funkci

Daná funkce může mít mnoho asymptotických expanzí (každá s jinou asymptotickou stupnicí). ${\ displaystyle f (x)}$

Subdominance

Asymptotická expanze může být asymptotická expanze na více než jednu funkci.

Viz také

Související pole

• Asymptotická analýza
• Zvláštní narušení

Asymptotické metody

• Watsonovo lemma
• Mellinova transformace
• Laplaceova metoda
• Aproximace stacionární fáze
• Metoda nejstrmějšího klesání

Poznámky

Reference

• Ablowitz, MJ a Fokas, AS (2003). Složité proměnné: úvod a aplikace . Cambridge University Press .
• Bender, CM, & Orszag, SA (2013). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry I: Asymptotické metody a poruchová teorie . Springer Science & Business Media .
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals , Dover Publications .
• Carrier, GF, Krook, M., & Pearson, CE (2005). Funkce komplexní proměnné: Teorie a technika . Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku .
• Copson, ET (1965), Asymptotic Expansions , Cambridge University Press .
• Dingle, RB (1973), Asymptotické expanze: jejich odvození a interpretace , Academic Press .
• Erdélyi, A. (1955), Asymptotic Expansions , Dover Publications .
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Composite Asymptotic Expansions , Springer.
• Hardy, GH (1949), Divergent Series , Oxford University Press .
• Olver, F. (1997). Asymptotika a speciální funkce . AK Peters / CRC Press.
• Paris, RB, Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press .
• Whittaker, ET , Watson, GN (1963), Kurz moderní analýzy , čtvrté vydání, Cambridge University Press .

externí odkazy

• „Asymptotická expanze“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series