Zenonovy paradoxy - Zeno's paradoxes

Zenonovy paradoxy jsou souborem filozofických problémů, o nichž se obecně předpokládá, že byly navrženy řeckým filozofem Zenem z Eley (asi 490–430 př. N. L.) Na podporu Parmenidovy doktríny, že na rozdíl od důkazů vlastních smyslů se víra v pluralitu a změnu mýlí , a zejména ten pohyb není nic jiného než iluze . Obvykle se na základě Platónových Parmenidů (128a – d) předpokládá, že Zeno převzal projekt vytváření těchto paradoxů, protože jiní filozofové vytvořili paradoxy proti Parmenidovu pohledu. Platón tedy vyzval Zenona, aby řekl, že účelem paradoxů „je ukázat, že jejich hypotéza, že existencí je mnoho, pokud je správně sledována, vede k ještě absurdnějším výsledkům než hypotéze, že jsou jedno“. Platón tvrdí, že Socrates tvrdí, že Zenon a Parmenides v podstatě argumentovali přesně stejným bodem. Některé z devíti Zenonových přežívajících paradoxů (zachované v Aristotelově fyzice a Simpliciově komentáři k ní) jsou si v podstatě navzájem podobné. Aristoteles nabídl vyvrácení některých z nich. Tři z nejsilnějších a nejslavnějších - Achilles a želva, argument dichotomie a šíp v letu - jsou podrobně uvedeny níže.

Zenonovy argumenty jsou možná prvními příklady důkazní metody zvané reductio ad absurdum , známé také jako důkaz rozporem . Jsou také připisovány jako zdroj dialektické metody používané Sokratem. Někteří matematici a historici, jako například Carl Boyer , zastávají názor, že Zenonovy paradoxy jsou jednoduše matematické problémy, pro které moderní kalkul poskytuje matematické řešení. Někteří filozofové však tvrdí, že Zenonovy paradoxy a jejich variace (viz Thomsonova lampa ) zůstávají relevantními metafyzickými problémy. Počátky paradoxů jsou poněkud nejasné. Diogenes Laërtius , čtvrtý zdroj informací o Zenovi a jeho učení, cituje Favorina , říká, že Zenův učitel Parmenides byl první, kdo zavedl paradox Achilla a želvy. Ale v pozdější pasáži Laërtius přisuzuje původ paradoxu Zenovi s vysvětlením, že Favorinus nesouhlasí.

Paradoxy pohybu

Dichotomický paradox

To, co je v pohybu, musí dorazit do poloviny cesty, než dorazí do cíle.

-  jak líčí Aristoteles , Physics VI: 9, 239b10

Předpokládejme, že Atalanta si přeje dojít na konec cesty. Než se tam dostane, musí se dostat do půlky cesty. Než se dostane do půlky cesty, musí se dostat na čtvrtinu cesty tam. Před čtvrtinovou cestou musí cestovat po jedné osmině; před osmým, šestnáctým; a tak dále.

Výslednou sekvenci lze znázornit jako:

${\displaystyle \left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}}$

Tento popis vyžaduje, aby jeden dokončil nekonečný počet úkolů, což Zeno tvrdí, že je nemožné.

Tato posloupnost také představuje druhý problém v tom, že neobsahuje první vzdálenost ke spuštění, protože jakoukoli možnou ( konečnou ) první vzdálenost lze rozdělit na polovinu, a proto by nakonec nebyla první. Výlet proto nemůže ani začít. Paradoxním závěrem by pak bylo, že cestování přes jakoukoli konečnou vzdálenost nelze ani dokončit, ani začít, a proto musí být veškerý pohyb iluzí .

Tento argument se nazývá „ dichotomie “, protože zahrnuje opakované rozdělení vzdálenosti na dvě části. Příklad s původním smyslem lze nalézt v asymptotě . Je také známý jako paradox závodního kurzu .

Achilles a želva

V závodě nejrychlejší běžec nikdy nemůže předjet toho nejpomalejšího, protože pronásledovatel musí nejprve dosáhnout bodu, odkud pronásledovaný začal, takže pomalejší musí mít vždy náskok.

-  jak líčí Aristoteles , Physics VI: 9, 239b15

V paradoxu Achilles a želvy je Achilles v želvě s želvou. Achilles umožňuje želvě náskok například 100 metrů. Předpokládejme, že každý závodník začne běžet nějakou konstantní rychlostí, jeden rychleji než druhý. Po nějakém omezeném čase Achilles uběhne 100 metrů a přivede ho k výchozímu bodu želvy. Během této doby želva uběhla mnohem kratší vzdálenost, řekněme 2 metry. Achillesovi pak bude nějakou dobu trvat, než tuto vzdálenost uběhne, do té doby želva postoupí dále; a pak ještě více času na dosažení tohoto třetího bodu, zatímco se želva pohybuje vpřed. Kdykoli tedy Achilles dorazí někam, kde byla želva, stále má před sebou ještě kus cesty, než se k želvě vůbec dostane. Jak poznamenal Aristoteles, tento argument je podobný dichotomii. Postrádá však zjevný závěr nehybnosti.

Šipkový paradox

Pokud je vše, když zabírá stejný prostor, v tu chvíli v klidu, a pokud to, co je v pohybu, vždy zabírá takový prostor v každém okamžiku, létající šipka je proto v daném okamžiku a v dalším okamžiku nehybná času, ale pokud jsou oba okamžiky času brány jako stejný okamžitý nebo souvislý okamžik času, pak je v pohybu.

-  jak líčí Aristoteles , Physics VI: 9, 239b5

V paradoxu šipky Zeno uvádí, že aby došlo k pohybu, musí předmět změnit polohu, kterou zaujímá. Uvádí příklad šípu za letu. Uvádí, že v žádném okamžiku (bez trvání) se šipka nepohybuje tam, kde je, ani tam, kde není. Nemůže se přestěhovat tam, kde není, protože neuplyne čas, aby se tam mohla přestěhovat; nemůže se přestěhovat tam, kde je, protože už tam je. Jinými slovy, v každém okamžiku nedochází k pohybu. Pokud je vše v každém okamžiku nehybné a čas je složen výhradně z okamžiků, pak je pohyb nemožný.

Zatímco první dva paradoxy rozdělují prostor, tento paradox začíná dělením času - a ne na segmenty, ale na body.

Tři další paradoxy podle Aristotela

Paradox místa

Od Aristotela:

Pokud vše, co existuje, má své místo, bude mít místo také místo, a tak dále do nekonečna .

Paradox zrna prosa

Popis paradoxu z Routledge Dictionary of Philosophy :

Argumentem je, že jedno zrnko prosa při pádu nevydává žádný zvuk, ale tisíc zrn vydává zvuk. Z tisíce věcí se tedy stane něco, absurdní závěr.

Aristotelovo vyvrácení:

Zenón se mýlí, když říká, že neexistuje žádná část prosa, která by nevydávala žádný zvuk: neexistuje žádný důvod, proč by žádná taková část neměla v žádném časovém období pohnout vzduchem, kterým se při pádu pohybuje celý bušl. Ve skutečnosti samo o sobě nepohybuje ani takové množství vzduchu, jako by se pohybovalo, kdyby tato část byla sama o sobě: žádná část dokonce neexistuje jinak než potenciálně.

Popis od Nicka Huggetta:

Toto je argument Parmenidea, že člověk nemůže věřit svému sluchu. Aristotelova odpověď se zdá být taková, že i neslyšitelné zvuky mohou přispět ke slyšitelnému zvuku.

The Moving Rows (or Stadium)

Od Aristotela:

... pokud jde o dvě řady těl, přičemž každá řada je složena ze stejného počtu těl stejné velikosti, procházejících si navzájem na závodní dráze, zatímco postupují stejnou rychlostí v opačných směrech, přičemž jedna řada původně zaujímala prostor mezi cíl a střední bod hřiště a druhý ten mezi středním bodem a startovním postem. To ... zahrnuje závěr, že polovina daného času se rovná dvojnásobku času.

Podrobnější popis Zenových argumentů, jak jej představil Aristoteles, najdete v Simpliciově komentáři k Aristotelově fyzice .

Navrhovaná řešení

Diogenes Cynik

Podle Simplicius , Diogenes cynik mlčel Po vyslechnutí argumentů Zeno, ale vstal a šel za účelem prokázání faleš závěrů Zenových (viz solvitur ambulando ). K úplnému vyřešení jakéhokoli paradoxu je však třeba ukázat, co je na argumentu špatně, nejen závěry. Během historie bylo navrženo několik řešení, mezi nejranější patří Aristoteles a Archimedes.

Aristoteles

Aristoteles (384 př. N. L. - 322 př. N. L.) Poznamenal, že s klesající vzdáleností se také snižuje doba potřebná k překonání těchto vzdáleností, takže potřebný čas se také stává stále menším. Aristoteles také rozlišoval „věci nekonečné s ohledem na dělitelnost“ (jako je jednotka prostoru, který lze mentálně rozdělit na stále menší jednotky, přičemž prostorově zůstávají stejné) od věcí (nebo vzdáleností), které jsou nekonečné v prodloužení („s ohledem na jejich končetiny"). Aristotelova námitka proti šípovému paradoxu zněla, že „čas není složen z nedělitelných současností o nic víc, než jakákoli jiná velikost se skládá z nedělitelných“.

Archimedes

Před rokem 212 př. N. L. Vyvinul Archimedes metodu pro odvození konečné odpovědi pro součet nekonečně mnoha výrazů, které se postupně zmenšují. (Viz: Geometrické řady , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , Kvadratura paraboly .) Jeho argument, který používá metodu vyčerpání, aby dokázal, že dotyčný nekonečný součet je rovná ploše konkrétního čtverce, je do značné míry geometrický, ale docela přísný. Dnešní analýza dosahuje stejného výsledku pomocí limitů (viz konvergentní řady ). Tyto metody umožňují konstrukci řešení na základě podmínek stanovených Zenonem, tj. Čas potřebný v každém kroku se geometricky snižuje.

Tomáš Akvinský

Tomáš Akvinský , komentující Aristotelovu námitku, napsal: „Okamžiky nejsou součástí času, protože čas se netýká okamžiků, stejně jako velikost bodů, jak jsme již dokázali. Z toho tedy nevyplývá, že věc je není v daném čase v pohybu, jen proto, že není v pohybu v žádném okamžiku této doby. “

Bertrand Russell

Bertrand Russell nabídl to, co je známé jako „at-at theory of motion“. Souhlasí s tím, že nemůže existovat žádný pohyb „během“ okamžiku bez trvání, a tvrdí, že k pohybu je zapotřebí pouze to, aby šipka byla v jednom okamžiku v jednom okamžiku, v jiném bodě v jiném čase a ve vhodných bodech mezi těmito dvěma body pro mezilehlé časy. V tomto pohledu je pohyb pouze změnou polohy v průběhu času.

Hermann Weyl

Dalším navrhovaným řešením je zpochybnit jeden z předpokladů, které Zeno použil ve svých paradoxech (zejména v dichotomii), tj. Že mezi jakýmikoli dvěma různými body v prostoru (nebo čase) je vždy další bod. Bez tohoto předpokladu existuje pouze konečný počet vzdáleností mezi dvěma body, proto neexistuje nekonečná posloupnost pohybů a paradox je vyřešen. Podle Hermanna Weyla je předpoklad, že prostor je tvořen konečnými a diskrétními jednotkami, vystaven dalšímu problému, danému „ argumentem dlaždice “ nebo „problémem funkce vzdálenosti“. Podle toho je délka přepony pravoúhlého trojúhelníku v diskretizovaném prostoru v rozporu s geometrií vždy rovna délce jedné ze dvou stran. Jean Paul Van Bendegem tvrdil, že argument Tile lze vyřešit, a že diskretizace tedy může odstranit paradox.

Henri Bergson

Alternativní závěr, který navrhl Henri Bergson ve své knize z roku 1896 Matter and Memory , je ten, že zatímco cesta je dělitelná, pohyb nikoli. V tomto argumentu momenty v čase a okamžité velikosti fyzicky neexistují. Objekt v relativním pohybu nemůže mít okamžitou nebo určenou relativní polohu, a tak nemůže být jeho pohyb zlomkově rozřezán.

Peter Lynds

V roce 2003 uvedl Peter Lynds velmi podobný argument: všechny Zenonovy pohybové paradoxy jsou vyřešeny závěrem, že okamžité časové a okamžité velikosti fyzicky neexistují. Lynds tvrdí, že objekt v relativním pohybu nemůže mít okamžitou nebo určenou relativní polohu (protože kdyby ano, nemohl by být v pohybu), a tak nemůže mít svůj pohyb zlomkově rozřezaný, jako by to byl, jak předpokládají paradoxy. Další informace o neschopnosti znát rychlost a polohu najdete v Heisenbergově principu neurčitosti .

Nick Huggett

Nick Huggett tvrdí, že Zeno předpokládá závěr, když říká, že objekty, které zabírají stejný prostor jako v klidu, musí být v klidu.

Paradoxy v moderní době

Nekonečné procesy zůstaly teoreticky problematické v matematice až do konce 19. století. S epsilon-delta definice limitu , Weierstrass a Cauchy vyvinula přísný formulaci logiky a počtu zapojených. Tyto práce vyřešily matematiku zahrnující nekonečné procesy.

Zatímco matematika dokáže vypočítat, kde a kdy pohybující se Achilles předběhne želvu Zenonova paradoxu, filozofové jako Kevin Brown a Moorcroft tvrdí, že matematika neřeší ústřední bod Zenova argumentu a že řešení matematických problémů neřeší každý problém vyvolávají paradoxy.

Populární literatura často nesprávně uvádí Zenonovy argumenty. Například Zeno se často říká, že tvrdil, že součet nekonečného počtu výrazů musí být sám nekonečný - s tím výsledkem, že nejen čas, ale i vzdálenost, kterou je třeba urazit, se stanou nekonečnými. Žádný z původních starověkých zdrojů však Zeno nediskutoval o součtu jakékoli nekonečné řady. Simplicius řekl Zenónovi, že „není možné projít nekonečným množstvím věcí za konečný čas“. To představuje Zenonův problém ne s nalezením součtu , ale spíše s dokončením úkolu s nekonečným počtem kroků: jak se lze vůbec dostat z bodu A do bodu B, pokud lze identifikovat nekonečný počet (ne-okamžitých) událostí, které je třeba předcházet příjezdu do B a člověk nemůže dosáhnout ani na začátek „poslední události“?

Vtipný záběr nabízí Tom Stoppard ve své hře Jumpers (1972), ve které hlavní hrdina, profesor filozofie George Moore, naznačuje, že podle Zenova paradoxu byl svatý Sebastian , křesťanský světec 3. století umučen střelbou šípy, zemřel strachem.

Debata pokračuje v otázce, zda byly Zenonovy paradoxy vyřešeny či nikoli. V knize The History of Mathematics: An Introduction (2010) Burton píše: „Ačkoli Zenonův argument zmátl jeho současníky, uspokojivé vysvětlení zahrnuje dnes již známou myšlenku, pojem„ konvergentní nekonečné řady “.“

Bertrand Russell nabídl „řešení“ paradoxů na základě práce Georga Cantora , ale Brown uzavírá „Vzhledem k historii„ konečných usnesení “, od Aristotela, je pravděpodobně bláznivé si myslet, že jsme dosáhli konce. že Zenonovy argumenty v pohybu, kvůli jejich jednoduchosti a univerzálnosti, budou vždy sloužit jako jakýsi „Rorschachův obraz“, na který lidé mohou promítat své nejzákladnější fenomenologické starosti (pokud nějaké mají) “.

Podobná starověká čínská filozofická úvaha

Starověcí čínští filozofové z Mohist School of Names během období válčících států v Číně (479-221 př. N. L.) Vyvinuli ekvivalenty některých Zenonových paradoxů. Vědec a historik Sir Joseph Needham ve své Vědě a civilizaci v Číně popisuje starověký čínský paradox z dochované knihy logiky Mohist School of Names, která v archaickém starověkém čínském písmu uvádí „jednu nohu, každý den“ odneste polovinu, za nesčetné věky nebude vyčerpána. “ Je známo několik dalších paradoxů z této filozofické školy (přesněji hnutí), ale jejich moderní interpretace je spekulativnější.

Kvantový Zenový efekt

V roce 1977 fyzici EC George Sudarshan a B. Misra zjistili, že dynamickému vývoji (pohybu) kvantového systému může být bráněno (nebo dokonce bráněno) pozorováním systému. Tento efekt se obvykle nazývá „kvantový Zenův efekt“, protože silně připomíná Zenonův šípový paradox. Tento efekt byl poprvé teoretizován v roce 1958.

Zeno chování

V oblasti ověřování a návrhu časovaných a hybridních systémů se chování systému nazývá Zeno, pokud zahrnuje nekonečný počet diskrétních kroků v konečném množství času. Některé formální ověřovací techniky vylučují toto chování z analýzy, pokud nejsou rovnocenné s non-Zenovým chováním. V návrhu systémů bude toto chování také často vyloučeno ze systémových modelů, protože je nelze implementovat pomocí digitálního ovladače.

Lewis Carroll a Douglas Hofstadter

To, co želva řekla Achillesovi , napsaná v roce 1895 Lewisem Carrollem , byl pokus odhalit analogický paradox v oblasti čisté logiky. Pokud je Carrollův argument platný, pak to znamená, že Zenonovy paradoxy pohybu nejsou v zásadě problémy prostoru a času, ale jdou přímo do nitra samotného uvažování. Douglas Hofstadter udělal z Carrollova článku středobod jeho knihy Gödel, Escher, Bach: Věčný zlatý cop , který napsal mnoho dalších dialogů mezi Achillem a Želvou, aby objasnil jeho argumenty. Hofstadter spojuje Zenonovy paradoxy s Gödelovou větou o neúplnosti ve snaze demonstrovat, že problémy nastolené Zenonem jsou všudypřítomné a projevují se v teorii formálních systémů, výpočetní technice a filozofii mysli.

Viz také

• Nesrovnatelné veličiny
• Nekonečná regrese
• Filozofie prostoru a času
• Renormalizace
• Ross -Littlewoodův paradox
• Škola jmen
• Supertask
• „ Co želva řekla Achillesovi “, alegorický dialog o základech logiky od Lewise Carrolla (1895).
• Zenonský stroj
• Seznam paradoxů

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Dowden, Bradley. „ Zenonovy paradoxy .“ Zápis do internetové encyklopedie filozofie .
• „Antinomy“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Úvod do matematické filozofie , Ludwig-Maximilians-Universität München
• Silagadze, ZK „ Zeno se setkává s moderní vědou “
• Zenonův paradox: Achilles a želva od Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project .
• Kevin Brown na Zeno a paradox pohybu
• Palmer, John (2008). „Zenon z Elea“ . Stanfordská encyklopedie filozofie .
• Tento článek včlení materiál z Zenova paradoxu na PlanetMath , který je chráněn licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Grime, Jamesi. „Zenonův paradox“ . Numberphile . Brady Haran . Archivováno od originálu dne 2018-10-03 . Citováno 2013-04-13 .