Bílý šum - White noise

Barvy hluku
Bílý
Růžový
Červená (hnědá)
Nachový
Šedá
Tvar vlny signálu Gaussova bílého šumu vykreslený na grafu

Při zpracování signálu je bílý šum náhodný signál se stejnou intenzitou na různých frekvencích , což mu dává spektrální hustotu konstantního výkonu . Termín se v tomto nebo podobných významech používá v mnoha vědeckých a technických oborech, včetně fyziky , akustického inženýrství , telekomunikací a statistických předpovědí . Bílý šum označuje spíše statistický model signálů a zdrojů signálu než jakýkoli konkrétní signál. Bílý šum odvozuje svůj název od bílého světla , ačkoli světlo, které se jeví jako bílé, obecně nemá ve viditelném pásmu plochou spektrální hustotu.

Obraz „bílého šumu“

V diskrétním čase je bílý šum diskrétní signál, jehož vzorky jsou považovány za posloupnost sériově nekorelovaných náhodných proměnných s nulovým průměrem a konečným rozptylem ; jediná realizace bílého šumu je náhodný šok . V závislosti na kontextu lze také požadovat, aby vzorky byly nezávislé a měly identické rozdělení pravděpodobnosti (jinými slovy nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné jsou nejjednodušší reprezentací bílého šumu). Zejména pokud má každý vzorek normální rozdělení s nulovým průměrem, signál je označen jako aditivní bílý gaussovský šum .

Vzorky signálu bílého šumu mohou být sekvenční v čase nebo uspořádány podél jednoho nebo více prostorových rozměrů. Při zpracování digitálního obrazu jsou pixely obrazu s bílým šumem typicky uspořádány v obdélníkové mřížce a jsou považovány za nezávislé náhodné veličiny s rovnoměrným rozložením pravděpodobnosti v určitém intervalu. Koncept lze definovat také pro signály šířící se přes komplikovanější oblasti, jako je koule nebo torus .

Nějaký zvuk „bílého šumu“ (hlasitý)

Nekonečně pásma signál šum je čistě teoretická konstrukce. Šířka pásma bílého šumu je v praxi omezena mechanismem generování šumu, přenosovým médiem a schopnostmi konečného pozorování. Náhodné signály jsou tedy považovány za „bílý šum“, pokud je pozorováno, že mají ploché spektrum v rozsahu frekvencí, které jsou relevantní pro kontext. Pro zvukový signál je příslušným rozsahem pásmo slyšitelných zvukových frekvencí (mezi 20 a 20 000 Hz ). Takový signál slyší lidské ucho jako syčivý zvuk , připomínající zvuk / h / v trvalé aspiraci. Na druhou stranu, zvuk „sh“ / ʃ / v „popelu“ je barevný šum, protože má formantní strukturu. V hudbě a akustice může být termín „bílý šum“ použit pro jakýkoli signál, který má podobný syčivý zvuk.

Termín bílý šum je někdy používán v kontextu fylogeneticky založených statistických metod pro označení nedostatku fylogenetického vzorce ve srovnávacích datech. Někdy se používá analogicky v netechnických kontextech k označení „náhodné povídání bez smysluplného obsahu“.

Statistické vlastnosti

Spektrogramu z růžového šumu (vlevo) a bílého šumu (vpravo), je znázorněno s lineární frekvenční ose (vertikální) versus časová osa (horizontální).

Je možné jakékoli rozdělení hodnot (i když musí mít nulovou DC složku ). I binární signál, který může nabývat pouze hodnot 1 nebo 0, bude bílý, pokud je sekvence statisticky nekorelovaná. Hluk s kontinuální distribucí, jako je normální distribuce , může být samozřejmě bílý.

Často se nesprávně předpokládá, že gaussovský šum (tj. Šum s Gaussovým rozdělením amplitudy - viz normální rozdělení ) nutně odkazuje na bílý šum, přesto žádná vlastnost neznamená druhou. Gaussianita označuje rozdělení pravděpodobnosti s ohledem na hodnotu, v tomto kontextu pravděpodobnost signálu spadajícího do konkrétního rozsahu amplitud, zatímco termín „bílý“ označuje způsob distribuce síly signálu (tj. Nezávisle) v čase nebo mezi frekvencemi.

Bílý šum je zobecněným derivátem průměrných čtverců Wienerova procesu nebo Brownova pohybu .

Měření bílého šumu je zobecnění na náhodné prvky v nekonečných dimenzionálních prostorech, jako jsou náhodná pole .

Praktické aplikace

Hudba

Bílý šum se běžně používá při výrobě elektronické hudby , obvykle buď přímo, nebo jako vstup pro filtr pro vytváření jiných typů šumového signálu. To je široce používáno v syntéze zvuku , typicky k obnově bicích nástrojů, jako jsou činely nebo malé bubny, které mají ve své frekvenční oblasti vysoký obsah šumu. Jednoduchým příkladem bílého šumu je neexistující rozhlasová stanice (statická).

Elektronické inženýrství

Bílý šum se také používá k získání impulzní odezvy elektrického obvodu, zejména zesilovačů a jiného zvukového zařízení. Nepoužívá se pro testování reproduktorů, protože jeho spektrum obsahuje příliš velké množství vysokofrekvenčního obsahu. Růžový šum , který se liší od bílého šumu v tom, že má stejnou energii v každé oktávě, se používá k testování měničů, jako jsou reproduktory a mikrofony.

Výpočetní

Bílý šum se používá jako základ některých generátorů náhodných čísel . Například Random.org používá systém atmosférických antén ke generování náhodných číslic z bílého šumu.

Léčba tinnitu

Bílý šum je běžným zdrojem syntetického šumu používaným k maskování zvuku maskáčem tinnitu . Stroje s bílým šumem a další zdroje bílého šumu se prodávají jako zesilovače soukromí a spánkové pomůcky (viz hudba a spánek ) a k maskování tinnitu . Marpac Sleep-Mate (nyní nazývaný Dohm ) je první domácí stroj s bílým šumem, který v roce 1962 postavil cestující prodavač Jim Buckwalter. Alternativně je použití rádia FM naladěného na nevyužité frekvence („statické“) jednodušším a cenově výhodnějším zdrojem bílého šumu. Bílý šum generovaný běžným komerčním rádiovým přijímačem naladěným na nevyužitou frekvenci je však extrémně náchylný ke kontaminaci rušivými signály, jako jsou sousední rozhlasové stanice, harmonické z nesousedících rozhlasových stanic, elektrická zařízení v blízkosti přijímací antény způsobující interference, nebo dokonce atmosférické jevy jako sluneční erupce a zejména blesky.

Existují důkazy, že terapie expozicí bílému šumu mohou vyvolat maladaptivní změny v mozku, které zhoršují neurologické zdraví a kompromitují poznání.

Pracovní prostředí

Účinky bílého šumu na kognitivní funkce jsou smíšené. Nedávno malá studie zjistila, že stimulace pozadí bílého šumu zlepšuje kognitivní funkce u studentů středních škol s poruchou pozornosti s hyperaktivitou (ADHD), přičemž snižuje výkonnost studentů, kteří nejsou ADHD. Jiná práce naznačuje, že je účinná při zlepšování nálady a výkonu pracovníků maskováním hluku v kanceláři na pozadí, ale snižuje kognitivní výkon při složitých úkolech při třídění karet.

Podobně byl proveden experiment na šedesáti šesti zdravých účastnících, aby se sledovaly výhody používání bílého šumu ve vzdělávacím prostředí. Experiment zahrnoval účastníky, kteří identifikovali různé obrázky a na pozadí měli různé zvuky. Celkově experiment ukázal, že bílý šum má ve skutečnosti výhody ve vztahu k učení. Experimenty ukázaly, že bílý šum mírně zlepšil učební schopnosti účastníka a jeho rozpoznávací paměť.

Matematické definice

Vektor bílého šumu

Náhodný vektor (to je, je částečně neurčitý proces, který produkuje vektory reálných čísel) se říká, že je bílý šum vektor nebo bílá náhodný vektor, pokud jeho součásti mají každý rozdělení pravděpodobnosti s nulovou střední a konečnou rozptylu , a jsou statisticky nezávislé : to znamená, že jejich společné rozdělení pravděpodobnosti musí být součinem rozdělení jednotlivých složek.

Nezbytnou (ale obecně ne dostačující ) podmínkou statistické nezávislosti dvou proměnných je, aby byly statisticky nekorelované ; to znamená, že jejich kovariance je nulová. Proto kovarianční matice R složek vektoru bílého šumu w s n prvky musí být diagonální matice n x n , kde každý diagonální prvek R ii je rozptylem složky w i ; a korelační matice musí být matice identity n podle n .

Pokud kromě nezávislosti má každá proměnná ve w také normální rozdělení s nulovým průměrem a stejnou variací , pak se říká , že w je vektor Gaussova bílého šumu. V tomto případě je společný distribuce w je vícerozměrná normální rozdělení ; nezávislost mezi proměnnými pak znamená, že rozdělení má sférickou symetrii v n -dimenzionálním prostoru. Proto jakákoli ortogonální transformace vektoru bude mít za následek gaussovský bílý náhodný vektor. Zejména u většiny typů diskrétních Fourierových transformací , jako jsou FFT a Hartley , bude transformace W z w také vektorem bílého šumu Gaussova; to znamená, že n Fourierovy koeficienty w budou nezávislé gaussovské proměnné s nulovým průměrem a stejným rozptylem .

Výkonové spektrum P z náhodného vektoru w může být definován jako očekávané hodnoty druhou mocninou modulu každého koeficientu její Fourierova transformace W , která je, P i = E (| W i | 2 ). Podle této definice bude mít vektor bílého šumu Gaussova dokonale ploché výkonové spektrum s P i  =  σ 2 pro všechna  i .

Jestliže w je bílý náhodný vektor, ale ne gaussovský, jeho Fourierovy koeficienty W i nebudou na sobě zcela nezávislé; ačkoli u velkých n a běžných rozdělení pravděpodobnosti jsou závislosti velmi jemné a jejich párové korelace lze považovat za nulové.

Často se při definici bílého šumu používá slabší podmínka „statisticky nekorelovaná“, místo „statisticky nezávislá“. Některé běžně očekávané vlastnosti bílého šumu (například ploché výkonové spektrum) však nemusí platit pro tuto slabší verzi. Za tohoto předpokladu může být přísnější verze výslovně označována jako nezávislý vektor bílého šumu. Jiní autoři místo toho používají silně bílou a slabě bílou.

Příklad náhodného vektoru, kterým je „gaussovský bílý šum“ ve slabém, ale ne v silném smyslu, je x = [ x 1 , x 2 ], kde x 1 je normální náhodná proměnná s nulovým průměrem a x 2 se rovná + x 1 nebo až - x 1 , se stejnou pravděpodobností. Tyto dvě proměnné jsou nekorelované a jednotlivě normálně distribuované, ale nejsou společně normálně distribuovány a nejsou nezávislé. Pokud je x otočeno o 45 stupňů, jeho dvě složky budou stále nekorelované, ale jejich rozdělení již nebude normální.

V některých situacích je možné definici uvolnit tím, že každá složka bílého náhodného vektoru w bude mít nenulovou očekávanou hodnotu . Při zpracování obrazu , zejména tam, kde jsou vzorky obvykle omezena na kladné hodnoty, se často vyžaduje , aby jedna polovina maximální hodnoty vzorku. V takovém případě bude mít Fourierův koeficient W 0 odpovídající složce nulové frekvence (v podstatě průměr w i ) také nenulovou očekávanou hodnotu ; a výkonové spektrum P bude ploché pouze na nenulových frekvencích.

Diskrétní bílý šum

Diskrétní stochastický proces je generalizace náhodných vektorů s konečným počtem složek na nekonečně mnoho složek. Diskrétní stochastický proces se nazývá bílý šum, pokud jeho průměr nezávisí na čase a je roven nule, tj. A pokud má funkce autokorelace nenulovou hodnotu pouze pro , tzn .

Nepřetržitý bílý šum

Aby bylo možné definovat pojem „bílého šumu“ v teorii signálů spojitého času , je třeba nahradit koncept „náhodného vektoru“ náhodným signálem spojitého času; to znamená náhodný proces, který generuje funkci parametru se skutečnou hodnotou .

Říká se, že takový proces je bílý šum v nejsilnějším smyslu, pokud je hodnota pro libovolnou dobu náhodná proměnná, která je statisticky nezávislá na celé její historii dříve . Slabší definice vyžaduje nezávislost pouze mezi hodnotami a v každém páru odlišných časů a . Ještě slabší definice pouze vyžaduje, aby tyto páry a být nekorelované. Stejně jako v diskrétním případě někteří autoři přejímají slabší definici „bílého šumu“ a používají nezávislý kvalifikátor k označení kterékoli ze silnějších definic. Jiní používají k jejich rozlišení slabě bílou a silně bílou barvu.

Přesná definice těchto pojmů není triviální, protože některé veličiny, které jsou konečnými součty v konečném diskrétním případě, musí být nahrazeny integrály, které se nemusí sbíhat. Sada všech možných instancí signálu již skutečně není prostorem konečné dimenze , ale prostorem nekonečně dimenzionálních funkcí . Navíc podle jakékoli definice by signál bílého šumu musel být v podstatě nespojitý v každém bodě; proto i ty nejjednodušší operace , jako integrace přes konečný interval, vyžadují pokročilé matematické stroje.

Někteří autoři požadují, aby každá hodnota byla náhodnou proměnnou s reálnou hodnotou s očekáváním a určitým konečným rozptylem . Potom je kovariance mezi hodnotami dvakrát a je dobře definována: je nulová, pokud jsou časy odlišné, a pokud jsou stejné. Podle této definice je integrál

přes jakýkoliv interval s pozitivní šířky by byly jednoduše šířky krát očekávání: . Tato vlastnost by koncept učinila neadekvátním jako model fyzických signálů „bílého šumu“.

Většina autorů proto definuje signál nepřímo zadáním nenulových hodnot pro integrály a v jakémkoli intervalu jako funkci jeho šířky . V tomto přístupu však hodnotu v izolovaném čase nelze definovat jako náhodnou proměnnou s reálnou hodnotou. Také kovariance se stává nekonečnou, když ; a autokorelační funkce musí být definována jako , kde je nějaká skutečná konstanta a je Diracova „funkce“ .

V tomto přístupu se obvykle určuje, že integrál na v intervalu je skutečná náhodná proměnná s normálním rozdělením, nulovou střední hodnotou, a rozptyl ; a také to, že kovariance integrálů , je tam, kde je šířka průsečíku dvou intervalech . Tento model se nazývá signál (nebo proces) bílého šumu Gaussova.

Matematické aplikace

Analýza časových řad a regrese

Ve statistikách a ekonometrii často předpokládáme, že pozorovaná řada datových hodnot je součtem řady hodnot generovaných deterministickým lineárním procesem , v závislosti na určitých nezávislých (vysvětlujících) proměnných a na řadě náhodných hodnot hluku. Poté se regresní analýza použije k odvození parametrů modelového procesu z pozorovaných dat, např. Pomocí běžných nejmenších čtverců , a k testování nulové hypotézy, že každý z parametrů je nula, proti alternativní hypotéze, že je nenulová. Testování hypotéz obvykle předpokládá, že hodnoty hluku jsou vzájemně nekorelované s nulovým průměrem a mají stejné Gaussovo rozdělení pravděpodobnosti - jinými slovy, že šum je gaussovsky bílý (nejen bílý). Pokud existuje nenulová korelace mezi hodnotami hluku, které jsou podkladem různých pozorování, pak jsou odhadované parametry modelu stále nezkreslené , ale odhady jejich nejistot (jako jsou intervaly spolehlivosti ) budou zkreslené (v průměru nejsou přesné). To platí také v případě, že je šum heteroskedastický  - to znamená, že má různé odchylky pro různé datové body.

Alternativně v podmnožině regresní analýzy známé jako analýza časových řad často neexistují jiné vysvětlující proměnné než minulé hodnoty modelované proměnné ( závislá proměnná ). V tomto případě je proces šumu často modelován jako klouzavý průměrný proces, ve kterém aktuální hodnota závislé proměnné závisí na aktuálních a minulých hodnotách sekvenčního procesu bílého šumu.

Náhodné vektorové transformace

Tyto dvě myšlenky jsou klíčové v aplikacích, jako je odhad kanálu a ekvalizace kanálu v komunikacích a zvuku . Tyto koncepty se také používají při kompresi dat .

Zejména vhodnou lineární transformací ( barevnou transformací ) lze bílý náhodný vektor použít k vytvoření „nebělého“ náhodného vektoru (tj. Seznamu náhodných proměnných), jehož prvky mají předepsanou kovarianční matici . Naopak, náhodný vektor se známou kovarianční maticí lze transformovat na bílý náhodný vektor vhodnou bělící transformací .

Generace

Bílý šum může být generován digitálně pomocí digitálního signálového procesoru , mikroprocesoru nebo mikrokontroléru . Generování bílého šumu obvykle znamená přivádění vhodného proudu náhodných čísel do převodníku digitálního signálu na analogový . Kvalita bílého šumu bude záviset na kvalitě použitého algoritmu.

Viz také

Barvy hluku
Bílý
Růžový
Červená (hnědá)
Nachový
Šedá

Reference

externí odkazy