Měřítko (geometrie) - Scaling (geometry)

Každá iterace Sierpinského trojúhelníku obsahuje trojúhelníky související s další iterací měřítkovým faktorem 1/2

V euklidovské geometrii je rovnoměrné škálování (nebo izotropní škálování ) lineární transformací, která zvětšuje (zvětšuje) nebo zmenšuje (zmenšuje) objekty faktorem měřítka, který je ve všech směrech stejný. Výsledek rovnoměrného škálování je podobný (v geometrickém smyslu) originálu. Faktor měřítka 1 je normálně povolen, takže shodné tvary jsou také klasifikovány jako podobné. K jednotnému měřítku dochází například při zvětšování nebo zmenšování fotografie nebo při vytváření zmenšeného modelu budovy, auta, letadla atd.

Obecnější je škálování se samostatným faktorem měřítka pro každý směr osy. Nestejnoměrné škálování ( anizotropní škálování ) se získá, když se alespoň jeden z faktorů škálování liší od ostatních; zvláštním případem je směrové škálování nebo roztahování (v jednom směru). Nejednotné škálování mění tvar objektu; např. čtverec se může změnit na obdélník nebo na rovnoběžník, pokud strany čtverce nejsou rovnoběžné s osami škálování (úhly mezi přímkami rovnoběžnými s osami jsou zachovány, ale ne všechny úhly). Dochází k tomu například při pohledu na vzdálený billboard ze šikmého úhlu nebo když stín plochého předmětu dopadne na povrch, který s ním není rovnoběžný.

Když je faktor měřítka větší než 1, (rovnoměrné nebo nejednotné) škálování se někdy také říká dilatace nebo zvětšení . Když je faktor měřítka kladné číslo menší než 1, škálování se někdy také nazývá kontrakce .

V nejobecnějším smyslu zahrnuje škálování případ, ve kterém směry škálování nejsou kolmé. Zahrnuje také případ, kdy se jeden nebo více faktorů měřítka rovná nule ( projekce ), a případ jednoho nebo více negativních faktorů měřítka (směrové škálování o -1 je ekvivalentem odrazu ).

Škálování je lineární transformace a zvláštní případ homotetické transformace . Ve většině případů jsou homotetické transformace nelineární transformace.

Maticová reprezentace

Škálování může být reprezentováno škálovací maticí . Chcete -li změnit měřítko objektu pomocí vektoru v = ( v _x , v _y , v _z ), bude třeba každý bod p = ( p _x , p _y , p _z ) vynásobit touto škálovací maticí:

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} \\\ end {bmatrix}}.}

Jak je uvedeno níže, násobení poskytne očekávaný výsledek:

{\ Displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} p_ {x} \\ v_ {y} p_ {y} \\ v_ {z} p_ {z} \ end {bmatrix}}.}

Takové měřítko mění průměr objektu o faktor mezi faktory měřítka, plochu o faktor mezi nejmenším a největším součinem dvou faktorů měřítka a objem podle součinu všech tří.

Měřítko je jednotné tehdy a jen tehdy, jsou -li faktory měřítka stejné ( v _x = v _y = v _z ). Pokud jsou všechny kromě jednoho z faktorů měřítka rovny 1, máme směrové škálování.

V případě, že v _x = v _y = v _z = k , škálování zvětší plochu jakéhokoli povrchu o faktor k ² a objem jakéhokoli pevného objektu o faktor k ³ .

Škálování v libovolných rozměrech

V rozměrné prostoru , jednotné měřítko koeficientem se provádí skalární násobení s , která je, vynásobením každé souřadnice každého bodu od . Jako zvláštní případ lineární transformace toho lze dosáhnout také vynásobením každého bodu (viděného jako sloupcový vektor) diagonální maticí, jejíž položky na diagonále jsou stejné , jmenovitě . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle vI}$

Nerovnoměrné škálování se provádí vynásobením libovolnou symetrickou maticí . Vlastní čísla matice jsou faktory měřítka a odpovídající vlastní vektory jsou osy, podél kterých platí každý faktor měřítka. Zvláštním případem je diagonální matice s libovolnými čísly podél úhlopříčky: osami škálování jsou pak souřadnicové osy a transformace se podél každé osy mění podle faktoru . ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, \ ldots v_ {n}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$

V jednotném měřítku s nenulovým faktorem měřítka si všechny nenulové vektory zachovávají svůj směr (jak je patrné z počátku), nebo mají všechny směr obrácený, v závislosti na znaménku měřítka. Při nejednotném škálování si svůj směr zachovají pouze vektory, které patří do vlastního prostoru . Vektor, který je součtem dvou nebo více nenulových vektorů patřících do různých vlastních prostorů, bude nakloněn směrem k vlastnímu prostoru s největší vlastní hodnotou.

Použití homogenních souřadnic

V projektivní geometrii , často používané v počítačové grafice , jsou body reprezentovány pomocí homogenních souřadnic . Chcete -li změnit měřítko objektu pomocí vektoru v = ( v _x , v _y , v _z ), bude třeba každý homogenní souřadnicový vektor p = ( p _x , p _y , p _z , 1) vynásobit touto projektivní transformační maticí:

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Jak je uvedeno níže, násobení poskytne očekávaný výsledek:

{\ Displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} p_ {x} \\ v_ {y} p_ {y} \ \ v_ {z} p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}}.}

Protože na poslední složku homogenní souřadnice lze pohlížet jako na jmenovatele ostatních tří složek, lze jednotné škálování pomocí společného faktoru s (jednotné škálování) dosáhnout pomocí této škálovací matice:

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}}.}

Pro každý vektor p = ( p _x , p _y , p _z , 1) bychom měli

{\ Displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}},}

což by bylo ekvivalentní

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} sp_ {x} \\ sp_ {y} \\ sp_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}}.}

Dilatace a kontrakce funkce

Vzhledem k bodu je dilatace spojena s bodem prostřednictvím rovnic ${\ displaystyle P (x, y)}$ ${\ displaystyle P '(x', y ')}$

{\ Displaystyle {\ begin {cases} x '= mx \\ y' = ny \ end {cases}}}

pro .

{\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {R} ^{+}}

Proto je pro danou funkci rovnice dilatované funkce ${\ Displaystyle y = f (x)}$

{\ Displaystyle y = nf \ left ({\ frac {x} {m}} \ right).}

Zvláštní případy

Pokud je transformace horizontální; kdy , je to dilatace, když , je to kontrakce. ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ Displaystyle m> 1}$ ${\ Displaystyle m <1}$