Kerala škola astronomie a matematiky - Kerala school of astronomy and mathematics

Kerala škola astronomie a matematiky
Řetězec učitelů školy Kerala
Umístění
Střední a severní Kerala Indie
Informace
Typ	Hind , astronomie , matematika , věda
Zakladatel	Madhava ze Sangamagramy

Kerala školy astronomie a matematiky , nebo Kerala škola byla škola matematiky a astronomie zřizovaných Madhava Sangamagrama v Tirur , Malappuram , Kerala , Indie, který zahrnoval mezi svými členy: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri a Achyuta Panikkar . Škola vzkvétala mezi 14. a 16. století a původní objevy školy se zdá k končili Narayana Bhattathiri (1559-1632). Při pokusu o řešení astronomických problémů škola Kerala nezávisle objevila řadu důležitých matematických pojmů. Jejich nejdůležitější výsledky-rozšíření řady o goniometrické funkce-byly popsány v sanskrtském verši v knize Neelakanty s názvem Tantrasangraha a opět v komentáři k této práci, nazvané Tantrasangraha-vakhya , neznámého autorství. Věty byly uvedeny bez důkazů, ale důkazy pro sérii pro sinus, kosinus a inverzní tangens byly poskytnuty o století později v díle Yuktibhasa ( c.  1500  - c.  1610 ), napsaném Malayalam , Jyesthadeva, a také v komentář k Tantrasangraha .

Jejich práce, dokončená dvě století před vynálezem počtu v Evropě, poskytla to, co je nyní považováno za první příklad mocenské řady (kromě geometrické řady). Neformulovali však systematickou teorii diferenciace a integrace , ani neexistuje žádný přímý důkaz o tom, že by se jejich výsledky přenášely mimo Keralu .

Příspěvky

Nekonečné řady a počet

Škola Kerala přispěla řadou příspěvků do oblastí nekonečných řad a počtu . Patří sem následující (nekonečné) geometrické řady:

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1+x+x^{2}+x^{3}+\ cdots {\ text {for}} | x | <1}$

Škola Kerala intuitivně využívala matematickou indukci , ačkoli induktivní hypotéza ještě nebyla formulována ani použita v důkazech. Využili toho, aby objevili polopřísný důkaz výsledku:

${\ Displaystyle 1^{p}+2^{p}+\ cdots+n^{p} \ cca {\ frac {n^{p+1}} {p+1}}}$

pro velké n .

Jsou použity nápady (co mělo stát) diferenciálního a integrálního počtu získat ( Taylor-Maclaurinův ) nekonečné série pro , a . Tantrasangraha-vakhya dává řadu ve verši, který při překladu do matematického zápisu, může být zapsán jako: ${\ Displaystyle \ sin x}$${\ displaystyle \ cos x}$${\ Displaystyle \ arctan x}$

${\ Displaystyle r \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = {\ frac {1} {1}} \ cdot {\ frac {ry} {x}}-{\ frac { 1} {3}} \ cdot {\ frac {ry^{3}} {x^{3}}}+{\ frac {1} {5}} \ cdot {\ frac {ry^{5}} { x^{5}}}-\ cdots, {\ text {where}} {\ frac {y} {x}} \ leq 1.}$

${\ Displaystyle r \ sin {\ frac {x} {r}} = xx \ cdot {\ frac {x^{2}} {(2^{2} +2) r^{2}}}+x \ cdot {\ frac {x^{2}} {(2^{2} +2) r^{2}}} \ cdot {\ frac {x^{2}} {(4^{2} +4) r^{2}}}-\ cdot}$

${\ Displaystyle r \ left (1- \ cos {\ frac {x} {r}} \ right) = r {\ frac {x^{2}} {(2^{2} -2) r^{2 }}}-r {\ frac {x^{2}} {(2^{2} -2) r^{2}}} \ cdot {\ frac {x^{2}} {(4^{2 } -4) r^{2}}}+\ cdots}$

kde pro řadu snižte na standardní výkonovou řadu pro tyto goniometrické funkce, například: ${\ displaystyle r = 1,}$

${\ Displaystyle \ sin x = x-{\ frac {x^{3}} {3!}}+{\ frac {x^{5}} {5!}}-{\ frac {x^{7} } {7!}}+\ Cdots}$ a

${\ Displaystyle \ cos x = 1-{\ frac {x^{2}} {2!}}+{\ frac {x^{4}} {4!}}-{\ frac {x^{6} } {6!}}+\ Cdots}$

(Keralaská škola nepoužívala „faktoriální“ symboliku.)

Škola Kerala využila rektifikaci (výpočet délky) oblouku kruhu, aby poskytla důkaz těchto výsledků. (Pozdější Leibnizova metoda využívající kvadraturu ( tj. Výpočet plochy pod obloukem kruhu) ještě nebyla vyvinuta.) Využili také rozšíření řady o získání nekonečného výrazového výrazu (později známý jako Gregoryho řada) pro : ${\ Displaystyle \ arctan x}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1-{\ frac {1} {3}}+{\ frac {1} {5}}-{\ frac {1} {7}}+ \ cdots}$

Obzvláště zajímavá je jejich racionální aproximace chyby pro konečný součet jejich řad. Například chyba,, (pro n liché a i = 1, 2, 3 ) pro řadu: ${\ displaystyle f_ {i} (n+1)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} \ cca 1-{\ frac {1} {3}}+{\ frac {1} {5}}-\ cdots (-1)^{(n -1)/2} {\ frac {1} {n}}+(-1)^{(n+1)/2} f_ {i} (n+1)}$

kde ${\ Displaystyle f_ {1} (n) = {\ frac {1} {2n}}, \ f_ {2} (n) = {\ frac {n/2} {n^{2} +1}}, \ f_ {3} (n) = {\ frac {(n/2)^{2} +1} {(n^{2} +5) n/2}}.}$

Manipulovali s termíny pomocí částečného rozšíření zlomku: k získání rychleji konvergující řady pro : ${\ displaystyle {\ frac {1} {n^{3} -n}}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}}+{\ frac {1} {3^{3} -3}}-{\ frac {1} { 5^{3} -5}}+{\ frac {1} {7^{3} -7}}-\ cdots}$

Vylepšené řady použili k odvození racionálního výrazu, pro opravu až o devět desetinných míst, tzn . K výpočtu těchto výsledků využili intuitivní představu o limitu . Matematici ze školy Kerala také poskytli semi-rigorózní metodu diferenciace některých goniometrických funkcí, ačkoli pojem funkce nebo exponenciálních nebo logaritmických funkcí ještě nebyl formulován. ${\ Displaystyle 104348/33215}$${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle 3.141592653}$

Uznání

V roce 1825 vydal John Warren monografii o dělbě času v jižní Indii s názvem Kala Sankalita , která stručně zmiňuje objev nekonečných řad astronomů z Keraly.

Práce školy v Kerale byly poprvé sepsány pro západní svět Angličanem CM Whishem v roce 1835. Podle Whishe Keralaští matematici „položili základ kompletního systému toků“ a tato díla byla „přeplněná“ formami a řadami nelze nalézt v žádné práci cizích zemí “. Whishovy výsledky však byly téměř zcela opomíjeny, až o více než století později, kdy objevy školy Kerala znovu zkoumal CT Rajagopal a jeho spolupracovníci. Jejich práce zahrnuje komentáře ohledně důkazů o arctan série v Yuktibhasa uvedené ve dvou dokumentech, komentář k Yuktibhasa ' s dokladem o sin a cos sérii a dva dokumenty, které poskytují sanskrtské veršů Tantrasangrahavakhya pro sérii pro arctan, sin a kosinus (s anglickým překladem a komentářem).

V roce 1952 Otto Neugebauer psal o tamilské astronomii.

V roce 1972 KV Sarma publikoval svou historii Kerala School of Hindu Astronomy, která popisuje rysy školy, jako je kontinuita přenosu znalostí od 13. do 17. století: Govinda Bhattathiri do Parameshvara do Damodara do Nilakantha Somayaji do Jyesthadeva do Acyuta Pisarati . Přenos z učitele na žáka zachoval znalosti v „praktické, demonstrativní disciplíně, jako je astronomie v době, kdy docházelo k nešíření tištěných knih a veřejných škol“.

V roce 1994 se tvrdilo, že heliocentrický model byl přijat kolem roku 1500 n. L. V Kerale.

Možný přenos školních výsledků Kerala do Evropy

AK Bag navrhl v roce 1979, že znalost těchto výsledků mohla být přenesena do Evropy obchodní cestou z Keraly obchodníky a jezuitskými misionáři. Kerala byla v nepřetržitém kontaktu s Čínou, Arábií a Evropou . Návrh některých komunikačních cest a chronologie některými učenci by mohl takový přenos umožnit; neexistuje však přímý důkaz prostřednictvím příslušných rukopisů, že by k takovému přenosu došlo. Podle Davida Bressouda „neexistuje žádný důkaz, že by indická série byla známá až za hranicemi Indie nebo dokonce mimo Keralu až do devatenáctého století“. VJ Katz poznamenává, že některé myšlenky školy Kerala mají podobnost s prací iráckého učence 11. století Ibn al-Haytham , což naznačuje možný přenos myšlenek z islámské matematiky do Keraly.

Oba Arab a indičtí učenci udělané objevy před 17. stoletím, které jsou nyní považovány za součást kalkulu. Podle VJ Katze měli ještě „spojit mnoho rozdílných myšlenek pod dvěma sjednocujícími tématy derivátu a integrálu , ukázat spojení mezi nimi a přeměnit počet na skvělý nástroj pro řešení problémů, který dnes máme“, jako Newton a Leibniz . Intelektuální kariéra Newtona i Leibnise je dobře zdokumentována a nic nenasvědčuje tomu, že by jejich práce nebyla jejich vlastní; není však s jistotou známo, zda se bezprostřední předchůdci Newtona a Leibniza, „včetně zejména Fermata a Robervala, dozvěděli o některých myšlenkách islámských a indických matematiků prostřednictvím zdrojů, o nichž nyní nevíme“. Jedná se o aktivní oblast současného výzkumu, zejména ve sbírkách rukopisů Španělska a Maghrebu , výzkumu, který nyní probíhá mimo jiné v Centre national de la recherche scientifique v Paříži .

Viz také

• Indická astronomie
• Indická matematika
• Indičtí matematici
• Dějiny matematiky

Poznámky

Reference

• Bressoud, David (2002), „Byl kalkul vynalezen v Indii?“, The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.) , 33 (1): 2–13, doi : 10,2307/1558972 , JSTOR  1558972.
• Gupta, RC (1969) „Druhý řád interpolace indické matematiky“, Indian Journal of History of Science 4: 92-94
• Hayashi, Takao (2003), „Indian Mathematics“, v Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 1, pp. 118-130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 stran, ISBN 0-8018-7396-7.
• Joseph, GG (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-00659-8.
• Katz, Victor J. (1995), „Ideas of Calculus in Islam and India“, Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) , 68 (3): 163–174, doi : 10,2307/2691411 , JSTOR  2691411.
• Parameswaran, S. (1992) „Whish's showroom revised“, Mathematical Gazette 76, no. 475 stran 28-36
• Pingree, David (1992), „Hellenophilia versus the History of Science“, Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis ... 83..554P , doi : 10.1086/356288 , JSTOR  234257 , S2CID  68570164
• Plofker, Kim (1996), „An example of the Secant Method of Iterative Aproximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text“, Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10,1006/hmat.1996.0026.
• Plofker, Kim (2001), "The" Error "in the Indian" Taylor Series Aproximation "to the Sine", Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10,1006/hmat.2001.2331.
• Plofker, K. (20. července 2007), „Mathematics of India“, in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mezopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 stran (vydáno 2007), s. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• CK Raju. „Počítače, matematické vzdělávání a alternativní epistemologie počtu v Yuktibhâsâ“, filozofie východ a západ 51 , University of Hawaii Press, 2001.
• Roy, Ranjan (1990), „Discovery of the Formula Formula for by Leibniz, Gregory, and Nilakantha“, Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) , 63 (5): 291–306, doi : 10,2307/2690896 , JSTOR 2690896${\ displaystyle \ pi}$ .
• Sarma, KV; Hariharan, S. (1991). „Yuktibhasa z Jyesthadeva: kniha racionálů v indické matematice a astronomii - analytické hodnocení“. Indián J. Hist. Sci . 26 (2): 185–207.
• Singh, AN (1936), „O používání sérií v hindské matematice“, Osiris , 1 : 606–628, doi : 10,1086/368443 , JSTOR  301627 , S2CID  144760421
• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (2 ed.), Berlin and New York: Springer, 568 stran, ISBN 0-387-95336-1.
• Tacchi Venturi. „Dopis Matteo Ricci Petri Maffeiovi 1. prosince 1581“, Matteo Ricci SI, Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , roč. 2, Macerata, 1613.

externí odkazy

• The Kerala School, European Mathematics and Navigation , 2001.
• Přehled indické matematiky , archiv MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Indian Mathematics: Redressing the balance , MacTutor History of Mathematics archive , 2002.
• Keralská matematika , MacTutor Archiv historie matematiky , 2002.
• Možný přenos keralské matematiky do Evropy , archiv MacTutor History of Mathematics , 2002.
• „Indiáni předběhli Newtonův„ objev “o 250 let” phys.org, 2007