Funkce binární hmotnosti - Binary mass function

V astronomii , na hmotnostní funkce binární nebo jednoduše hmotnostní funkcí je funkce , která omezuje množství neviditelného složky (typicky hvězda nebo exoplaneta ) v jednom lemované spektroskopické dvojité hvězdy nebo v planetárním systému . Lze jej vypočítat pouze z pozorovatelných veličin, konkrétně z oběžné doby binárního systému a špičkové radiální rychlosti pozorované hvězdy. Rychlost jedné binární složky a oběžná doba poskytují (omezené) informace o separační a gravitační síle mezi těmito dvěma složkami, a tedy o hmotách složek.

Úvod

Dvě těla obíhající kolem společného těžiště označeného červeným plusem. Větší těleso má vyšší hmotnost, a tedy i menší oběžnou dráhu a nižší oběžnou rychlost než jeho společník s nižší hmotností.

Funkce binární hmotnosti vyplývá z třetího Keplerova zákona, když je zavedena radiální rychlost jedné (pozorované) binární složky. Keplerův třetí zákon popisuje pohyb dvou těles obíhajících kolem společného těžiště . Vztahuje se k orbitální periodě (době potřebné k dokončení jedné plné oběžné dráhy) se vzdáleností mezi oběma tělesy (orbitální separace) a součtem jejich hmotností. Pro danou orbitální separaci znamená vyšší celková hmotnost systému vyšší orbitální rychlosti . Na druhou stranu, pro danou hmotnost systému znamená delší oběžná doba větší oddělení a nižší oběžné rychlosti.

Protože orbitální perioda a orbitální rychlosti v binárním systému souvisejí s hmotami binárních složek, měření těchto parametrů poskytuje určité informace o hmotnostech jedné nebo obou složek. Protože ale skutečnou orbitální rychlost nelze obecně určit, jsou tyto informace omezené.

Radiální rychlost je složka rychlosti oběžné rychlosti v zorném poli pozorovatele. Na rozdíl od skutečné oběžné rychlosti, radiální rychlost může být určena z Dopplerova spektroskopie ze spektrálních čar ve světle hvězdy, nebo změnami v době příchodu na pulzy s rádiovým pulsar . Binární systém se nazývá jednořadý spektroskopický binární, pokud lze měřit radiální pohyb pouze jedné ze dvou binárních složek. V tomto případě lze určit dolní mez hmotnosti jiné (neviditelné) složky.

Skutečnou hmotnost a skutečnou orbitální rychlost nelze určit z radiální rychlosti, protože orbitální sklon je obecně neznámý. (Sklon je orientace oběžné dráhy z pohledu pozorovatele a týká se skutečné a radiální rychlosti.) To způsobuje degeneraci mezi hmotností a sklonem. Pokud je například naměřená radiální rychlost nízká, může to znamenat, že skutečná orbitální rychlost je nízká (což znamená objekty s nízkou hmotností) a vysoký sklon (oběžná dráha je vidět na okraji), nebo že skutečná rychlost je vysoká (což znamená objekty s vysokou hmotností), ale sklon je nízký (oběžná dráha je vidět tváří v tvář).

Odvození pro kruhovou oběžnou dráhu

Křivka radiální rychlosti se špičkovou radiální rychlostí K = 1 m/s a oběžnou dobou 2 roky.

Špičková radiální rychlost je poloviční amplituda křivky radiální rychlosti, jak je znázorněno na obrázku. Oběžná doba se zjišťuje z periodicity křivky radiální rychlosti. Toto jsou dvě pozorovatelné veličiny potřebné k výpočtu funkce binární hmotnosti. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle P _ {\ mathrm {orb}}}$

Pozorovaný objekt, jehož radiální rychlost lze měřit, je v tomto článku považován za objekt 1, jeho neviditelným společníkem je objekt 2.

Nechť a být hvězdné hmoty, s celkovou hmotností dvojkové soustavě, a orbitální rychlosti a a vzdálenosti objektů k těžišti. je polovina hlavní osy (orbitální separace) binárního systému. ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle M_ {1}+M_ {2} = M _ {\ mathrm {tot}}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$${\ displaystyle a_ {1}+a_ {2} = a}$

Začneme se třetího Keplerova zákona, se na orbitální frekvencí a na gravitační konstanty , ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {orb}} = 2 \ pi /P _ {\ mathrm {orb}}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}}^{2} a^{3}.}$

Pomocí definice polohy těžiště můžeme psát ${\ displaystyle M_ {1} a_ {1} = M_ {2} a_ {2}}$

${\ Displaystyle a = a_ {1}+a_ {2} = a_ {1} \ left (1+{\ frac {a_ {2}} {a_ {1}}} \ right) = a_ {1} \ left (1+{\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} \ right) = {\ frac {a_ {1}} {M_ {2}}} (M_ {1}+M_ {2}) = {\ frac {a_ {1} M _ {\ mathrm {tot}}} {M_ {2}}}.}$

Když tento výraz vložíme do třetího Keplerova zákona, zjistíme ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle GM _ {\ mathrm {tot}} = \ omega _ {\ mathrm {orb}}^{2} {\ frac {a_ {1}^{3} M _ {\ mathrm {tot}}^{3} } {M_ {2}^{3}}}.}$

na které lze přepsat

${\ displaystyle {\ frac {M_ {2}^{3}} {M _ {\ mathrm {tot}}^{2}}} = {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {orb}}^{2} a_ {1}^{3}} {G}}.}$

Špičková radiální rychlost objektu 1, závisí na orbitálním sklonu (sklon 0 ° odpovídá oběžné dráze při pohledu zepředu, sklon 90 ° odpovídá oběžné dráze při pohledu z boku). Pro kruhovou dráhu ( orbitální excentricita = 0) je dána vztahem ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle K = v_ {1} \ mathrm {sin} i = \ omega _ {\ mathrm {orb}} a_ {1} \ mathrm {sin} i.}$

Po dosazení získáme ${\ displaystyle a_ {1}}$

${\ Displaystyle {\ frac {M_ {2}^{3}} {M _ {\ mathrm {tot}}^{2}}} = {\ frac {K^{3}} {G \ omega _ {\ mathrm {orb}} \ mathrm {sin} ^{3} i}}.}$

Funkce binární hmotnosti (s jednotkou hmotnosti) je ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f = {\ frac {M_ {2}^{3} \ \ mathrm {sin}^{3} i} {(M_ {1}+M_ {2})^{2}}} = {\ frac {P _ {\ mathrm {orb}} \ K^{3}} {2 \ pi G}}.}$

Pro odhadovanou nebo předpokládanou hmotnost pozorovaného objektu 1 lze minimální hmotnost pro neviditelný objekt 2 určit za předpokladu . Skutečná hmotnost závisí na orbitálním sklonu. Sklon typicky není znám, ale do určité míry jej lze určit z pozorovaných zatmění , být omezen z nepozorování zatmění nebo být modelován pomocí elipsoidních variací (nesférický tvar hvězdy v binárním systému vede ke změnám v jasu v průběhu oběžné dráhy, která závisí na sklonu systému). ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {2, min}}}$${\ Displaystyle i = 90^{\ circ}}$${\ displaystyle M_ {2}}$

Limity

V případě (například když je neviditelným objektem exoplaneta) se hmotnostní funkce zjednodušuje na ${\ displaystyle M_ {1} \ gg M_ {2}}$

${\ Displaystyle f \ cca {\ frac {M_ {2}^{3} \ \ mathrm {sin}^{3} i} {M_ {1}^{2}}}.}$

V opačném případě, kdy (například když je neviditelným objektem černá díra s vysokou hmotností ), se hmotnostní funkce stane ${\ displaystyle M_ {1} \ ll M_ {2}}$

${\ Displaystyle f \ cca M_ {2} \ \ mathrm {sin} ^{3} i,}$

a protože pro , hmotnostní funkce udává dolní mez hmotnosti neviditelného objektu 2. ${\ Displaystyle 0 \ leq \ sin (i) \ leq 1}$${\ Displaystyle 0^{\ circ} \ leq i \ leq 90^{\ circle}}$

Obecně platí, že pro jakékoli nebo , ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle M_ {1}}$

${\ Displaystyle M_ {2}> \ mathrm {max} \ left (f, f^{1/3} M_ {1}^{2/3} \ right).}$

Excentrická oběžná dráha

Na oběžné dráze s excentricitou je hmotnostní funkce dána vztahem ${\ displaystyle e}$

${\ Displaystyle f = {\ frac {M_ {2}^{3} \ \ mathrm {sin}^{3} i} {(M_ {1}+M_ {2})^{2}}} = {\ frac {P _ {\ mathrm {orb}} \ K^{3}} {2 \ pi G}} (1-e^{2})^{3/2}.}$

Aplikace

Rentgenové binární soubory

Pokud má akretor v rentgenové dvojhvězdě minimální hmotnost, která výrazně překračuje mez Tolman – Oppenheimer – Volkoff (maximální možná hmotnost neutronové hvězdy ), předpokládá se, že se jedná o černou díru. To je například případ Cygnus X-1 , kde byla změřena radiální rychlost doprovodné hvězdy.

Exoplanety

Exoplanet způsobuje její mateřské hvězdy k pohybu v malé oběžné dráze kolem středu hmoty hvězdy planety systému. Tuto „vlnitost“ lze pozorovat, pokud je radiální rychlost hvězdy dostatečně vysoká. Toto je metoda radiální rychlosti detekce exoplanet. Pomocí hmotnostní funkce a radiální rychlosti hostitelské hvězdy lze určit minimální hmotnost exoplanety. Aplikace této metody na Proxima Centauri , nejbližší hvězda sluneční soustavy, vedla k objevu Proxima Centauri b , pozemské planety s minimální hmotností 1,27  M _⊕ .

Pulzarské planety

Pulsarské planety jsou planety obíhající kolem pulsarů a několik z nich bylo objeveno pomocí pulsarového časování . Kolísání radiální rychlosti pulsaru vyplývá z měnících se intervalů mezi časy příchodu pulzů. První exoplanety byly objeveny tímto způsobem v roce 1992 kolem milisekundového pulsaru PSR 1257+12 . Dalším příkladem je PSR J1719-1438 , milisekundový pulsar, jehož společník, PSR J1719-1438 b , má minimální hmotnost přibližně stejnou jako hmotnost Jupitera , podle hmotnostní funkce.

Reference