Antisymetrický vztah - Antisymmetric relation

V matematiky , je binární relace na sadě je antisymetrická není-li dvojice různých prvků , z nichž každá je spojena prostřednictvím na druhou. Formálněji je antisymetrický přesně, pokud pro všechny

nebo ekvivalentně,
Definice antisymetrie neříká nic o tom, zda skutečně platí nebo ne

Příklady

Vztah dělitelnosti na přirozených číslech je důležitým příkladem antisymetrického vztahu. V tomto kontextu antisymetrie znamená, že jediný způsob, jakým může být každé ze dvou čísel dělitelné druhým, je ten, že ve skutečnosti jsou dvě stejná čísla; ekvivalentně, pokud a jsou odlišné a je faktorem, pak nemůže být faktorem Například 12 je dělitelné 4, ale 4 není dělitelné 12.

Obvyklý vztah pořadí na skutečných číslech je antisymetrický: pokud pro dvě reálná čísla a obě nerovnosti a platí, pak a musí být stejné. Stejně tak , aby podmnožina z podmnožin jakékoli dané sady je antisymetrická: vzhledem k tomu, dvě sady a v případě, každý prvek v i v a každý prvek je také v pak a musí obsahovat všechny stejné prvky, a proto se rovná:

Skutečný příklad vztahu, který je typicky antisymetrický, je „zaplacený účet za restauraci“ (chápáno jako omezené na danou příležitost). Někteří lidé obvykle platí své účty sami, zatímco jiní platí za své manžele nebo přátele. Dokud si dva lidé navzájem neplatí účty, je vztah antisymetrický.

Vlastnosti

Částečné a celkové objednávky jsou podle definice antisymetrické. Vztah může být symetrický i antisymetrický (v tomto případě musí být coreflexivní ) a existují vztahy, které nejsou ani symetrické, ani antisymetrické (například vztah „kořisti na“ u biologických druhů ).

Antisymetrie se liší od asymetrie : vztah je asymetrický tehdy a jen tehdy, je -li antisymetrický a nereflexivní .

Viz také

Reference

  • Weisstein, Eric W. „Antisymetrický vztah“ . MathWorld .
  • Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teorie a problémy diskrétní matematiky . McGraw-Hill. p. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
  • nLab antisymetrický vztah