Akustická teorie je vědecký obor, který souvisí s popisem zvukových vln . Vychází z dynamiky tekutin . Viz akustika pro technický přístup.
Pro zvukové vlny jakékoli velikosti narušení rychlosti, tlaku a hustoty máme
V případě, že fluktuace rychlosti, hustoty a tlaku jsou malé, můžeme je přiblížit jako
Kde je narušená rychlost tekutiny, je tlak kapaliny v klidu, je narušený tlak systému jako funkce prostoru a času, je hustota kapaliny v klidu a je odchylka hustoty tekutina v prostoru a čase.
V případě, že rychlost je irrotační ( ), máme rovnici akustické vlny, která popisuje systém:
Kde máme
Odvození pro médium v klidu
Počínaje rovnicí kontinuity a Eulerovou rovnicí:
Vezmeme-li malé poruchy konstantního tlaku a hustoty:
Pak jsou rovnice systému
S vědomím, že rovnovážné tlaky a hustoty jsou konstantní, to se zjednodušuje
Pohyblivé médium
Začínání s
Můžeme nechat tyto rovnice pracovat pro pohybující se médium nastavením , kde je konstantní rychlost, kterou se pohybuje celá tekutina, než bude narušena (ekvivalent k pohybujícímu se pozorovateli) a je rychlost tekutiny.
V tomto případě vypadají rovnice velmi podobně:
Všimněte si, že nastavení vrátí rovnice v klidu.
Linearizované vlny
Počínaje výše uvedenými pohybovými rovnicemi pro klidové médium:
Vezměme nyní všechna malá množství.
V případě, že necháme členy prvního řádu, pro rovnici kontinuity máme člen, který jde k 0. To obdobně platí pro perturbační časy hustoty časovou derivaci rychlosti. Navíc prostorové složky materiálové derivace jdou k 0. Máme tedy po přeskupení rovnovážné hustoty:
Dále, vzhledem k tomu, že se naše zvuková vlna vyskytuje v ideální tekutině, je pohyb adiabatický a pak můžeme spojit malou změnu tlaku s malou změnou hustoty o
Za této podmínky vidíme, že nyní máme
Definování rychlosti zvuku systému:
Všechno se stává
Pro irrotační kapaliny
V případě, že je tekutina irrotační, to znamená , že můžeme psát a tedy psát naše pohybové rovnice jako
To nám říká druhá rovnice
A použití této rovnice v rovnici kontinuity nám to říká
To se zjednodušuje na
Potenciál rychlosti se tedy řídí vlnovou rovnicí v limitu malých poruch. Okrajové podmínky potřebné k řešení potenciálu pocházejí ze skutečnosti, že rychlost kapaliny musí být 0 kolmá k pevným povrchům systému.
Vezmeme-li časovou derivaci této vlnové rovnice a vynásobíme všechny strany neporušenou hustotou a poté použijeme skutečnost, která nám říká, že
Podobně jsme to viděli . Můžeme tedy vhodně znásobit výše uvedenou rovnici a vidět to
Takže rychlostní potenciál, tlak a hustota se podřizují vlnové rovnici. Kromě toho musíme pouze vyřešit jednu takovou rovnici, abychom určili všechny ostatní tři. Zejména máme
Pro pohyblivé médium
Opět můžeme odvodit limit malých poruch pro zvukové vlny v pohybujícím se médiu. Opět počínaje
Můžeme je linearizovat do
Pro irrotační tekutiny v pohyblivém médiu
Vzhledem k tomu, že jsme to viděli
Pokud uděláme předchozí předpoklady o ideální tekutině a irrotační rychlosti, pak máme
Za těchto předpokladů se stanou naše linearizované zvukové rovnice
Důležité je, že protože je konstanta, máme , a to nám říká druhá rovnice
Nebo jen to
Nyní, když použijeme tento vztah se skutečností, že spolu se zrušením a přeskupením podmínek dospějeme k
Můžeme to napsat ve známé formě jako
Tato diferenciální rovnice musí být vyřešena příslušnými okrajovými podmínkami. Toto nastavení nám vrací vlnovou rovnici. Bez ohledu na to, po vyřešení této rovnice pro pohyblivé médium, máme
Viz také
Reference
-
Landau, LD; Lifshitz, EM (1984). Mechanika tekutin (2. vyd.). ISBN 0-7506-2767-0.
-
Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Mechanika tekutin (1. vyd.). ISBN 0-486-43261-0.